十二进制，二十进制，六十进制｜数学与生活

1798年初夏，拿破仑率领军队远征埃及。在金字塔下，即将作战的时候，他向士兵们喊出了一句很得意的话：

“诸位，4000年保佑着你们！”

在战斗的间隙，部下的将军们登上了著名的金字塔，拿破仑没有上去，却在下面忙着计算什么。据说拿破仑这个人很喜欢计算，在打仗的时候也使用数学。在力学上把物体的质量与速度相乘叫做动量，他就仿照这个例子，把部队的人数和移动速度相乘的结果作为部队的动量来计算。骑兵部队的人数虽然少，可是移动速度快，所以动量也就大。

且说那些将军们从金字塔上下来时，拿破仑就把刚才计算的结果说给他们听。

他说把三座金字塔(见图1-8)的石头全部合起来，可以筑成高6米、厚30厘米围绕全法国的石墙。拿破仑的计算是否准确姑且不说，仅仅听这句话我们也可以估量出金字塔是怎样一个庞然大物了。

图1-8为了建造这些金字塔，花费了多少人力和血汗，实在是难以想象。

然而金字塔的惊人之处，不仅是它的巨大。当仰望这个高达150米的巨大的石山，最初所感到的惊异平静下来之后，紧接着第二个惊异就会抓住人心，那就是金字塔所具有的精巧。这个巨大的石山不仅是大，而且还像工艺品那样精巧。

比如说金字塔的底边是正方形，边长的误差在1／1000以下。距今4000年以前怎么会有这样精巧的建筑物呢?一想到这里，就知道问题在于古代埃及的测量术及它的基础——数学。我们自然会想到制造出这样精密的建筑是要有高水平的数学知识作保证的。当然，仅凭螺壳的曲线在微分学里是精密的曲线，就说贝类懂得微分学，这个结论是错误的。但是人类从事的是有计划的工作，自然可以假定在它的背后有适应这个工作的科学存在。

在19世纪，香波里昂等开始的埃及研究就明确了这些假定是事实。例如，根据英国学者林德所发现的《莱因德纸草书》上的记载，当时埃及的数字如图1-9来表示。

图1-9相当于10，100，1000…的数字如图1-10。

图1-10这样的数字达到了1000万，说明埃及这个古国一定需要这个庞大的数字。根据流传下来的记录，在一次战争中，埃及分得了12万俘虏、40万头牛和142.2万头山羊。这个数字即使多少有些夸张，可是对一个拥有大量人口、处于高度统治下的古代国家来说，这种程度的数字决不是难以实现的大数吧。

埃及人使用象形文字来写数字，比如13545，这个数字的写法如图1-11所示。

图1-11这是从左到右按大小顺序写的，写的顺序反过来也可以。另外，要是把和换位置写也还是13545不变（见图1-12）。也就是与各个数字的书写顺序(即定位)没有关系。所以埃及的数字跟定位的原理不一样，我们今天用的定位法是从与埃及数字不同的巴比伦王国系统产生的。

1.9　二 十 进 制

如果以一个人的手指和脚趾数为基础，就能产生二十进制。这个二十进制和十进制并列，在今天的欧洲语言，特别是在法语里留下了痕迹，在法语里现在还有这种说法：

80——quatre vingts(4个20)

90——quatre vingt dix(4个20加10)

从前是用以下十进制的数词

80——octante

90——nonante

却特意变为使用20（vingt）的二十进制，可以看出法国人相当喜欢二十进制。雨果的著作里有名为《93年》的小说，那就是Quatre vingt treize(20×4+13=93)，这对日本人来说是需要心算一下的问题。确实，这种二十进制不是面向孩子的算术，所以近来在小学里停止使用vingt，把quatre vingts代之以octante，把quatre vingt dix代之以nonante，推荐使用这些合理的数词。

但是据说现在在农村有些地方还是像从前那样使用octante和nonante。

不仅是法语，英语里也保留着score(20)这样的数词，也把“人生70”说成Three score and ten(20×3+10=70)。林肯在葛底斯堡以那句名言“人民的，依靠人民的，为了人民的政府”结尾的演说中，是以Four score and seven years ago这句话开始的，由于20×4+7=87，所以意思就是“87年前”。

可是，法语也好，英语也好，20只是10的辅助，认真完成二十进制的民族也有，例如阿伊努人就是。阿伊努语的20是hot“一齐”，意思就是两手(指)和两脚(趾)全加在一块儿。

10——wanpe

20——hot

30——wanpe-e-tu-hot(20×2－10)

40——tu-hot(20×2)

50——wanpe-e-re-hot(20×3－10)

…

别的地方不大有这样用减法的。

除了阿伊努人以外，可别忘了还有一个民族创造了完全的二十进制，那就是中美洲的玛雅族和墨西哥的阿兹特克族。玛雅族的数字如图1-13所示。

图1-13到了20，就在•的下面画上，用来表示。

这时的形状就好像是眼睛，可是下一档不是20而是18，不是400而是360。

这似乎和一年的天数有关系，作为360天来说，剩下的5天就是祭日了。

玛雅族使用的是先进的定位方法，可是后来出现的阿兹特克族却从定位法后退了，他们使用的是如图1-14所示的数字。

图1-14 20是一面旗子，但20这个单位好像还太大，于是把20分成四等份，把10或15当作辅助单位使用，如图1-15所示。

图1-15阿兹特克族的二十进制是很彻底的。他们和玛雅族一样，一个月是20天，一年是18个月，20个部落聚在一起形成一个大部落。

1.10　十 二 进 制

人有5个手指，基于这样一个生物学的偶然事实，5，10或20就成为计算方法的基础。旧约圣经里说有一个手脚都有6个指头、总共有24个指头的巨人和大卫王打仗的事，如果是这个6指巨人创造数词，一定是十二进制。

12 进 制实际上也有人不用十进制而改用十二进制。第一个有名的例子，据说就是瑞典国王查理十二世(1682—1718)。他率领军队窜扰北欧。这个外号叫“北方的狂人”的好战国王很年轻就死去了，没有能实行十二进制。这样一个豪强的国王，为什么执意要搞十二进制呢?其理由还不太清楚，不仅因为“十二世”的十二，还一定有更合理的理由。首先想到的是12的约数很多这一事实。10的约数有4个：1，2，5，10。与此相比较，12的约数是1，2，3，4，6，12，有6个。尤其是10不能用3除尽，而12却能用3除尽，这就是它的长处。

在学者当中提倡十二进制的人是博物学家布封(1707—1788）。十二进制除了0~9的数字外，还必须有表示10和11的数字，布封用X表示10，用Z表示11。加上这两个数字就可以用与十进制相同的方法写出所有的数字。布封的生年1707可以写成ZX3，卒年1788就可以写成1050。

可是即使有查理十二世的权力和布封的博学，也不能把十二进制强加在国民头上。这是因为必须改变数词，而这一点很难办到。

话虽这么说，现在欧洲的语言和习惯上仍然保留有十二进制的痕迹。英国小学的算术教科书里印有12×12=144的十二进制的“九九”表，可是这对英国的孩子有必要吗?比如12个是1打，12打是1罗。在度量衡上也是以12进位的居多。12英寸是1英尺，12便士是1先令。英语的数词也是从one、two开始说到ten，11不是ten-one，12不是ten-two，而是eleven和twelve。追溯到最古老的词源，eleven是从哥特语的ainlif(余1)来的，twelve是从twalib(余2)来的，也仍然是以十进制为基础，但现在已经是无法区别，决不能说成ten-one，ten-two。

在这一点上日语就合理得多。掌握了合理的数词会多么有利呢?这就不得而知了。总之“九九”表很好地利用了日语数词的规律性，用欧洲语言可就非常困难了。

1.11　六 十 进 制

要是20太大的话，60就更大了。而以这更大的60为基础，把六十进制付诸实际使用的却是巴比伦王国。

巴比伦王国的六十进制现在在时间和角度的测量上仍然保留着。60秒是1分，60分是1小时，在角度上就是1度。这对于使用十进制的我们来说不太方便，可是要改变它与其说是困难的还不如说是不可能的。如果改变，那现在使用的钟表就全都没用了，刻着角度的机械也全都要返工改造。这个改革比起实行米制要困难得多。似乎不值得付出牺牲去实行。无论如何，钟表和分度器上的六十进制会永存下去。

可是六十进制为什么会在巴比伦王国产生呢？道理还不清楚，有各种各样的说法，下面一种说法似乎最说得通。巴比伦王国是由许多小的部落逐渐扩大形成的一个国家。那时有必要把各地方纷杂的度量衡统一起来。所以有很多约数的60就很方便。如十进制的国家和十二进制的国家一起组成新的国家时，如果用10或12都能除尽的数，也就是以10和12的最小公倍数60为基础的话，对两国都合适。

1.12　定位与 0 的祖先

巴比伦王国和埃及是历史上最早的城市国家，在那里文明的发达程度差不多相同，数学水平也很相近。它们掌握了100万或1000万以内的数词，知道加减乘除的计算方法，还提出了分数的想法。但是也有些不同点。

埃及在实现完整的十进制方面是先进的。巴比伦王国创立的是混杂着十进制的六十进制，因此我们得到一份不值得感谢的遗产，这就是时间与角度的六十进制。即使这么说，巴比伦王国的数学也不是在所有方面都比埃及差。巴比伦记数法的长处究竟在哪里呢？

像前面说过的那样，埃及人对于1，10，100，1000，…每一个新的单位想出一个新的文字。

可是巴比伦人分别用，,来表示1，10，100，1000意味着10×100，所以写成。我们可以认为在与之间省略了×（乘）的符号。同样，表示10×10×100=10 000，表示10×10×10×100=100 000。这虽然只是数字，但其中隐含着重要的想法。这个想法就是把尽量少的数字组合在一起来表示尽可能大的数。节约数字的想法逐渐发展，发明了0，诞生出计算用的数字，成了今天人类的共同财富。就是这些计算用的数字，按照定位的原理，仅用10个数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的排列，就能够表示所有的数。

埃及人为什么不节约数字呢?原因不太清楚，也许这个原因会出乎意料地出现在我们身边。埃及人能够在纸莎草纤维制成的草纸上画精巧的图画。当有必要写出相当于1000万的数字时，能够轻而易举地画出这样的图形文字。而巴比伦人却办不到，他们的纸就是黏土，笔就是在黏土上刻记号的粗陋的刮棒（见图1-16）图1-16，用刮棒充其量也就是刻出一些楔形沟。所以要像埃及人那样把1000写成等等真是太难了。巴比伦人必须想办法找窍门，用简单的楔形沟的组合写出1000，这样不就产生了吗?总而言之，也许是因为他们用粗陋的刮棒和黏土，使他们不得不节约数字吧。

可是反过来说，这件事对于数学的发展却是幸运的。实际上，从0的发明到创造计算用的数字，这一发展的线索不是联系在埃及系统，而是联系在巴比伦系统的数学上。

如果是使用方便的草纸使埃及的数学停止发展，而不方便的黏土却给巴比伦数学的发展以很好的刺激，这可以说是历史的讽刺吧。

上文节选自《数学与生活》, 已获人邮图灵许可, [遇见数学] 特此表示感谢!