从“希尔伯特的无限旅馆”开始接触“无限”

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最近时不时在头条上看到一些诸如“无穷也是可数的，我无穷大加1不就比无穷大了1吗”之类的言论，尽管这类东西回复了几次，但架不住总有人搞不懂“有限”和“无限”之间的区别，总是用“有限”的思维去理解“无限”的问题，所以这里从讲一个小故事开始，科普一下“有限”跟“无限”到底有什么区别，以及无限之间到底是怎么做比较的。

先说“有限”。

有一个小镇，这个小镇有一家旅馆，这个旅馆非常非常的大，它有一万个房间。某一天，希尔伯特来到了这个小镇，发现，嚯！这个小镇今天是真热闹，大街上停满了车，很多人到这个小镇来旅游，希尔伯特去旅馆开房间住，老板跟他说：真是不好意思，我们今天客满了，一万个房间全住满了，真的没地方给你住了。

看，这是有限，无论房间有多少，住满了就是住满了，绝对不会多出一间来给你住。

再说“无限”。

另一个小镇，这个小镇有一家旅馆，有无限个房间，一天，希尔伯特来到了这个小镇，这个小镇更热闹了，停的车看不到边，希尔伯特一看旅馆外面挂着的牌子，上面写着“客满”，但却还挂着另一块牌子，上面写着“欢迎新顾客前来入住”。希尔伯特觉得很奇怪，根据上一个小镇的经验来看，客满就是所有的房间都有顾客入住了，怎么可能还有新房间给新来的顾客住呢？于是他就决定去问问，如果真的有房间，就住一晚。

他进入旅馆，跟老板说：我要开一间房，但你这里客满了，要怎么给我一间房呢？老板笑着说：没问题的，我让1号房间的客人去住2号房间，让2号房间的客人去住3号房间，以此类推，你会发现，不管这个客人住的是几号房间，总有一个新的房间给他住，这样1号房间就空出来了，你就可以住到1号房间去。希尔伯特很诧异：但是最后一位客人住哪里呢？老板反问：你认为在有无限多的客人的情况下，哪位客人是最后一位客人呢？希尔伯特又问：那也不用这么麻烦吧，每个人都要腾地方，我直接去住最后一间房不就行了？老板笑了：你这还是“有限”的思维，无限的房间哪一间是最后一间呢？

所有客人搬完房间，希尔伯特兴冲冲的住进了1号房间。

这个时候，又来了100位客人，也要住店，希尔伯特出来看热闹，看看老板怎么办，老板说：好办，你去住101号房间，2号房间的客人住102号房间，3号房间的客人去住103号房间，以此类推，这样，前100号房间就空出来了，这新来的100位客人也就住下了。

等到这边忙完了，新客人也入住了，这个时候又来了无限多个客人，希尔伯特问：现在该怎么办？老板说：这也很容易，这样，1号房间的客人搬去2号，2号房间的客人搬去4号，3号房间的客人搬去6号，以此类推，老客人都搬到偶数房间去，奇数房间就空出来了，新来的客人住进奇数房间就行了。

通过这个旅馆的例子，现在对“无限”是否有了一个初步的认识了？

在“有限”的情况下，不管这个集合有多大，总是有边界的，你给这个集合增加一个元素，这个集合就已经比之前的那个集合要大。

但是“无限”集并不能简单的用“有限”集的方法比较大小，因为没有一个具体的边界，你向这个集合中添加一个元素，并不会简单的得到一个原集合+1的新集合，比较无限集合的大小，要看两个集合之间是否存在一个所有元素一一对应的关系，注意，这个一一对应必需是双向的。例如希尔伯特旅馆中的第一种情况，集合A中的每一个元素n都可以以“n+1”的形式一一对应到集合B中去，这样我们就认为这两个无限集合是相等的。

无限集合之间的相等是有层级的，这个层级在数学中我们称之为“势”，等势的两个无限集合我们就认为它们之间的大小相同。例如，用有限思维看起来正整数应该比正偶数多一倍，然而自然数集可以用“n×2”的方式对应到偶数集中去，因此正整数集和正偶数集是等势的，换句话说就是正整数数和正偶数一样多。

根据这个理论，正整数和负整数，正整数和全体整数之间都等势，所以我们一般讨论在正数区间进行就可以了，只要正数区间成立的事，能够很轻易推广到负数区间去，所以以下的讨论我们全部都在正数区间内进行。

还有一件很神奇的事，按照有限思维来理解，任意两个整数之间是有无限多个有理数存在的，那么有理数是不是应该远多于整数呢？神奇的地方来了，答案是：并不是。因为有理数有办法跟整数一一对应。根据有理数的定义，任意有理数都可以写成n/q的形式，n和q都是整数，我们可以将对应关系写成f(n/q)=prime(q)ⁿ，其中prime(x)函数表示第x个质数，因为质数已经被证明是无限多个了，因此我们神奇的找到了一种有理数与整数之间的对应方法，既然有这种方法存在，那么我们就证明了整数集和有理数集等势。

总之，无限集在有限思维中是很怪异的，不要把自己的思维局限在有限思维中。

既然有等势的无限集合，那么是不是就应该有不等势的集合呢？这个确实有，整数、有理数等等这一类无限集合其实是无限集合中最小的那一类，我们将其记为“阿列夫0(alef0、alef是希伯来语的第一个字母，我这写起来比较困难，就用普通方法写了)”，而实数集是远远大于有理数集的，有一个简单的例子：芝诺乌龟，如果实数集跟有理数集等势，那么阿基诺永远也追不上乌龟，这个悖论就昭示了实数是远远超过有理数的，另外我们中国的《庄子•天下》一书中写了这么一句话，叫“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，通过这句话，也能昭示这一点。因为实数集远大于有理数集，我们就认为实数集的势高于有理数的阿列夫0，记作阿列夫1。

这里要理解一个概念：高层级的无限是远远超过低层级的无限的，他们之间的比较就如同有限和无限之间的差距。

好了，现在我们有了两个层级的无限，分别是阿列夫0和阿列夫1，那么，是否存在更高层级的无限，如阿列夫2、甚至阿列夫3、阿列夫4……呢？答案是：有，但已知无限中，最高层级的无限就是阿列夫2，而且仅证明了一种情况，就是”空间中所有曲线的集合”，这个集合的势就是阿列夫2。

有了层级，我们又知道了不同层级之间势的比较，那么同层级之间的集合如何比较呢？之前我们说了一一对应关系，那么现在有了一个更简单的比较方法：同势的集合相等。也加是说，你只要证明一个无限集合的势是阿列夫0，那它一定跟整数、有理数相等，一定比实数集小得多。

下面用这种方法来证明一些问题。

1、根据目前已证明的一些命题，①等势的集合相等。②阿列夫0无限是最低层级的无限，低于阿列夫0的无限不存在。③一个集合A的子集的势不可能超过集合A。④质数有无限多个。

因为质数集是整数集的子集，整数集的势是阿列夫0，因此质数集的势不可能高于阿列夫0，因此质数集的势必然是阿列夫0，因此质数集与整数集等势，也就是说质数是跟整数、有理数一样多的。同理可以证明合数集与有理数集等势。

2、线段是直线的子集，因此线段上的点的集合不可能高于阿列夫1，线段上的点是稠密的，因此线段上点的集合大于有理数集合，已证明无限集相邻的两层之间不存在一个中间的集，使其高于低层集且低于高层级，如阿列夫0与阿列夫1之间不存在阿列夫0.5，因此线段上的点的集合的势为阿列夫1，也就是说线段上点的集合与直线上的点的集合等势，即线段上的点跟直线上的点一样多。同理也可以证明，射线上的点跟直线上的点一样多。

所以不要再说射线上的点是直线上的点的一半的话了，也不要说无限去掉一半就是二分之一无限这样的话，以及∞加1比∞多1这样的话。