（三）算术公理系统之：整数

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自然数浑然天成人间易得，但光有自然数还不足以应对纷繁复杂的日常生活，生活中有的人有钱，有的人没钱，有的人不仅没钱还欠钱，假定都是整钱，有钱用自然数表示，没钱用0表示，那么欠钱呢?欠钱用负数表示，什么是负数，负数又从哪来呢?相对于自然数，负数并不自然，是一种新数，它对应着一种新的运算，即减法运算。基于加法我们这样来定义减法：

若x＋y＝z，则x＝z－y，减法是加法的逆运算，称为加减变形公理。

注意，在定义减法时并没有将其局限于已知的数，而是不加限制地认为它对任何可能的数都有效，包括0、∞和自然数，也包括后面要讲到有理数、无理数和实数；也没有规定说只能大数减小数，不能小数减大数。法无禁止即是自由，这一点很重要，切不可做给数学上枷锁的傻事，如康托尔所说，数学的本质就在于它的自由，给数学上枷锁，其结果终究是给人类自己上枷锁。

据此令x＋n＝0，则有x＝0－n，当中的n可以是任何可能的数，就目前来说只有0、∞和自然数。由于自然数和∞都大于0，可以想见0－n得到的数x肯定不同于原来所有的数，这时我们有意或无意地把0和∞忽略，将0－n记作－n，即0－n＝－n，其中n为自然数，并给这样的数取个名字叫做负数，负数就从这来，它是引入减法之后的必然产物，在所有算术运算中，减号即负号，负号即减号。有了负数，准确说是负整数，之前的自然数，放在一个更大的范围里，就不叫自然数，而称为正整数。0既不属于正整数，也不属于负整数，正整数、负整数和0统称为整数。这是一个已经被奉为常识的说法，小学生都懂的，但这个说法是否准确可以再讨论。

定义和公理是一切数学的出发点，自然也是我们思考和讨论各种数学问题时的出发点。那么严格按照负数的定义来看，负数是与某数相加为0的数，或者说负数是由0减去一个已知数所得的结果，0减自然数n得到－n，同理，0减0得到－0，0减∞得到－∞，－0和－∞都严格遵循负数的定义而产生，是铁板钉钉的数。如果说对∞是不是一个数还存有疑虑，姑且不去论它，0是一个数，则毫无疑问，那么给0加上负号，它满足：0－0＝－0，0＋(－0)＝0，－0＝0，于是“－0”作为一个可以运算的符号，称其为数，乃妥妥的实至名归。

接下来把所有这些数按正负号分开排列，为了突出重点，暂不考虑∞和－∞：

0、 1、 2、 3、 …
－0、－1、－2、－3、 …

这时我们还能单独将0拎出来说整数分为正整数、负整数和0吗?有负0存在，将它郑重地考虑进来，带负号肯定是归到负整数，那么跟它相对的正0（0写全了应该是＋0）归到哪呢?——还用说嘛，当然归到正整数。所以关于整数准确的说法应该是，整数分为正整数和负整数，正整数包括{0、1、2、3、…}，负整数包括{－0、－1、－2、－3、…}。之前的说法无疑是完全忽略了－0的存在，加上－0＝0，导致我们在实际运算中几乎觉察不到它的存在，有它和没它运算结果基本不受影响，既然不受影响，那忽略不就忽略了，但要完整而深入地理解数，恰恰不能忽略它的存在。而忽略的后果又异常严重，是人们料想不到的。

如若对此表示摇头，不能理解，多半是因为还没有真正搞懂什么是负数，不曾想过从负数的定义出发，－0也是一个正儿八经的数，尽管－0＝0，但相等并不意味着两个数必须完全一致，一致到是一个数，否则使用等号只能有x＝x，而不能有x＝y的表述。总之在负0面前，我们应该检讨，众目睽睽之下藏着这么一个斗大的数，怎么就没人发现呢?

有了减法，我们对大于、小于和等于可以做进一步理解，根据
等身公理，x＝x
0加公理，0＋x＝x
以及减法的定义，可以得到x－x＝0，那么
若x＝y，则有x－y＝0，即两个数相等则它们的差为0，反之亦然，若x－y＝0，则有x＝y，两个数的差为0则它们相等。
仿此，1＞0，那么1－0，不能等于0，不能小于0，只能大于0，即1－0＞0，
那么，若x＞y，则有x－y＞0，反之亦然，若x－y＞0，则有x＞y，
对于小于符号“＜”也是这样，若x＜y，则有x－y＜0；若x－y＜0，则有x＜y。

判断两个数的大小，通常使用的算术方法就是看这两个数的差是否为0，5－3＞0，说明5比3大；反之，3－5＜0，说明3比5小；3－3＝0，两个3相等。那么0与－0谁大谁小呢?因为－0的定义就是0－0，0减去0只能是0，即－0＝0。于是数的大小与算术运算找到了对应关系。

既然0－0＝0，那么∞－∞＝?，这个问题有点烧脑，按照∞加公理，∞＋x＝∞，以及减法的定义得到，∞－∞＝x，这个与由0加公理得到的x－x＝0，是否相矛盾呢?一个数自己减去自己，还能不等于0吗?一个数自己跟自己比较还能不相等吗?回答是不矛盾，但又确实存在这样一个数不能简单的自己跟自己比较，比较结果为x，说明可以相等也可以不相等，这个数就是∞。

∞与普通数的根本区别可以这样来理解：对于任意一个普通数a，a－a＝0，并且a－a≡0，a减a等于0，并且a减a恒等于0；但对于∞来说，∞－∞＝0，并且∞－∞!≡0（不恒等于符号应该用≡加斜杠/来表示，但是“!≡”方便输入，所以先用着），∞减∞等于0，并且∞减∞不恒等于0，因为∞－∞＝x，x可以是任何数。

整数是在减法基础上对自然数的扩展，从正方向扩展到负方向，相当于把自然数整个复制一份放置到相反方向，按常识理解这会儿整数的个数应该有自然数个数的两倍才对，但无穷无尽的自然数翻一倍到无穷无尽的整数，还是无穷个，∞×2＝∞，居然没有变化。大概到了无穷这个级别，数量的增加已经没有意义了。其实根据∞－∞＝x，说整数跟自然数一样多，即∞－∞＝0，没问题；说整数比自然数多无穷个，即∞－∞＝∞，也没问题；甚至说整数比自然数少无穷个，即∞－∞＝－∞，也对。——怎么说都对，这不见鬼了吗?！对于拥有无穷数量的对象，欲通过数字的大小来比较对象的多和少，已经没什么价值。康托尔一度也很纠结这个问题，经过苦思冥想，提出以对应的方式来重新定义无穷对象数量的大和小，由此开创了集合论和超穷数理论，他是如何做的呢?

我们知道数字被发明出来，最直接的用处是计数，通常称为数数，幼儿识数基本上都是从数数开始。要计数，首先要明确计数对象，对谁进行计数?对周围的人，对手指脚趾，还是篮子里的鸡蛋，这就涉及集合的概念。集合是什么?集合所回答的问题是：“对象是哪些?”，回答这个问题旨在明确计数对象。而集合的作用相当于在我们的头脑里画出一个圈，将思考或讨论所涉及的对象都放进这个圈里，并给这个圈命名，比如A或者B，当提及这个名字的时候，我们都知道言之所指的是哪些对象。意即，集合是包含确定对象的全体，而构成集合的对象则称为元素。集合概念的提出极大节约了人们的认知和沟通成本，它的提出者康托尔可以说居功至伟。

有了集合，如果只考虑一个集合，不会有啥问题，当面对两个集合时，问题就产生了，哪个集合中的元素多，哪个集合中的元素少?元素多的为大，元素少的为小，如何比较两个集合的大小呢?我们知道，数是用来标定多少、比较大小的，如果没有数，或者不知有数，又或者在明知有数而不用的情况下，我们又如何比较它们的大小呢?这时要用到“1对1”的方法。

据说，著名的《荷马史诗》中记载了一个则盲人牧羊的故事：独眼巨人波吕斐摩斯仅有的一只眼也被奥德修斯刺瞎，成为盲眼巨人。盲眼巨人眼盲心不盲，他每天坐在山洞口照料他的羊群，早晨羊儿外出吃草，每出来一只，他就摸索着捡起一粒石子放在身边；傍晚羊儿返回山洞，每进去一只，他就扔掉一粒石子，当把早晨捡起的石子扔光时，他就确信羊群中的羊全部返回了山洞。很显然，故事中的盲眼巨人，不必知道羊群中有多少只羊，以及他捡起的一堆石子中有多少粒石子，他只需要将羊群中的羊与石堆中的石子“1对1”，一只羊对应一粒石子，一只羊对应一粒石子，对完了，结果自然明了。如果石子有剩，说明羊少了；如果羊有剩，说明可能生小羊了；如果羊和石子都没有剩，刚好一一对应，则两者一样多。盲眼巨人就是在使用“1对1”的方法比较两个集合的大小，整个过程不涉及数，所以巨人即便眼盲再加数盲，照料好羊群亦无大碍。

所谓“1对1”，就是将A、B两个任意的集合放一起，使之处在同一时空当中，然后将A中的元素与B中的元素建立起一个对一个的映射关系。由于A中的元素无序，B中的元素也无序，那么在A、B对应时，则不要求特定的元素对特定的元素，比如A中a1不是只能与B中的b1相对，它也可以选择与b2相对，一旦选定，它就不能再与B中的其他元素相对。对下来的结果，只有三种可能：A＞B，即B中的元素对完了，A中有剩余，余多少不考虑；A＜B，即A中的元素对完了，B中有剩余，余多少不考虑；A＝B，即A与B中的元素一一对应，都没有剩余。“1对1”的结果也可以粗分为两种：一一对应和非一一对应，有时为了强调结果的一一对应，也把“1对1”方法称为“一一对应”。

所谓计数，则是借助“1对1”的方式，将对象跟数联系起来，在知道对象“是哪些”之后来回答对象“有多少”的问题。此时的“1对1”不再是未知对未知、无序对无序，而是未知对已知、无序对有序。其中这个已知、有序的集合便是一把标有刻度的尺子，可以用它来测量未知集合，使未知变成已知。计数就是以某个数的集合作为“1对1”的一方，来测量另一方。常用的有自然数集、有理数集、实数集。对于简单的计数，首选自然数集N＝{1，2，3，…}。

现在我们用自然数集替换掉盲眼巨人手中的石子，来数一数他的羊群里有多少只羊。由于自然数集中的元素是有序的，1＜2＜3＜4＜5＜…，那么我们在将羊群中的羊与自然数集中的数一个对一个时，也要遵循这个次序，出第一只羊对1、再出一只羊对2、再出一只羊对3、…，从山洞走出最后一只羊时，如果对的是10，则说明羊群里有10只羊，计数的结果就是10。

整个计数过程，从1数到10，依次取自然数集中的元素，对应的正是自然数的生成和累加过程，即持续加1。我们可以用计算机编程语言来描述这个过程。令计数结果为r，并且r的初始值为0，每映射一次，则执行一次r＝r＋1（这里的“＝”是计算机编程语言中的赋值符号，意思是将右边的值赋给左边的变量，而不是算术中的“＝”表示左右两边相等），将此过程展开来看：

很明显，计数本质上就是将集合中的元素映射到数以及数的运算，并最终得到一个数，这个数即是该集合元素的个数，亦即集合的大小。而单纯的映射呢，只是将一个集合的元素映射到另一个集合的元素，两个集合之间没有本质差别：

将羊群映射到石子

这张图描绘的便是盲眼巨人早上将羊群映射到一堆石子的过程，从羊群到石堆，从一个集合到另一个集合，其间丝毫没有涉及数，所以映射的结果，盲眼巨人并不知道羊群里有多少只羊，或者石堆中有多少粒石子，他手里只是得到了一个羊群的副本，这个副本与真实的羊群相比，除了数量相等，还有一个很大的优点，羊会乱跑，石子不会，可以说聪明的盲眼巨人利用石子对羊群进行了一次抽象，将羊群简化为了石子。

呆到傍晚羊群返回山洞，盲眼巨人需要将这时的羊群与早上羊群的副本即石堆，进行“1对1”比较，看羊有没有乱跑。这就涉及如何比较两个集合的大小。早上将羊映射到石子，盲眼巨人是捡石子，放出一只羊捡一粒石子，最终得到一堆石子，现进一步将这堆石子抽象为一个集合N，将傍晚的羊群抽象为一个集合M，然后比较M和N的大小。

盲眼巨人虽然不识数，但只要有最基本的有和无的概念，是容易做到的。他可以把M、N两个集合放在一起，一只手从M中取元素，另一只手从N中取元素，一次取出一个元素，两只手同时取，于是两个集合中的元素同时减少，都是一次少一个。只要M和N中都还有元素可取，盲眼巨人就一直取下去，取了多少次他可以不管，直到出现至少有一个集合没有元素可取为止。假如M中还有元素，N中没有元素，即可得出M＞N。

同时让两个集合中的元素等量减少，谁先减少到无谁就小，同时减少到无就是一样大，这是最原始最朴素的比较两个集合大小的方法。只须知道有和无，就能判断两个集合的大小，这种方法最大限度地规避了对数的认知，确实非常高明。这种方法对我们来说有一个堪称经典的应用，即老师上课点名：一个班50个学生，满勤的话，刚好坐满教室里的50个座位，学生和座位一个对一个，如果有缺勤，老师轻轻瞄一眼有没有空位就知道了，而不用一个同学一个同学去数，可见它的效率在特定场景中是极高的。

对于这个高明的方法，我们可以再抽象，抽象为一个算法过程，它有输入有输出：
第一步，输入两个数m、n，并且m、n都是大于0的自然数；
第二步，m、n分别减去1，得到新的m、n，即m＝m－1、n＝n－1；
第三步，分别比较m、n与0的大小，如果m、n都大于0则返回执行第二步，如果m或者n等于0，则进入下一步；
第四步，如果m＞0，n＝0，则输出m＞n；如果m＝0，n＞0，则输出m＜n；如果m＝0，n＝0，则输出m＝n。

不难看出这个算法的核心是m＝m－1，或者写成r＝r－1，与之前的r＝r＋1刚好相反，前者是加法过程，后者是减法过程。如果将r＝r＋1称为计数，那么r＝r－1就是逆计数。

不论计数还是逆计数，“计”的过程即是映射的过程，“计数”即是映射到数，没有数就没有计数，这是一个不需要解释的简单道理。盲眼巨人不识数，他将羊群映射到石子，通过石子来管理羊群的数量，虽然方便可行，但这不叫计数，这是纯映射。羊群的数量，羊群自身不能说明，映射到石子，石子也不能说明羊群的数量，石子本身的数量仍然需要有数才能得以说明。把羊群和石子换作集合，意思就是，集合中元素的数量，集合自身不能说明，也不能由另一个集合来说明，只能由数来说明。没有数，单纯通过映射，从一个集合跳转到另一个集合，即便再跳转也没用，我们将永远不知道集合中元素的数量。

这里需要明白一个道理，数是抽象的。集合也抽象，但相对于数来说，集合仍然是具体的。我们知道集合由元素决定，有什么样的元素则有什么样的集合，元素一旦确定，元素所属的集合也就确定，元素一旦确定，元素的数量也就确定，集合的大小也就确定。不论是羊群、石堆，还是抽象的一个集合M，集合一旦确定，与生俱来的集合身上所固有的一个数也就确定，集合中的所有元素即是该数的实例。数是抽象的，数的实例是具体的，不能将数的实例等同于数自身，数不是实例，也不是集合，尽管数可以构成集合。

要弄明白数是什么，或许还真不是一件容易的事情。我们从小第一次接触数，往往会被告知，1就是一个苹果，2就是两个苹果，一个苹果就是1，两个苹果就是2，这时我们对数的认知可以概括为，数即对象，对象即数，数与具体对象不作区分。稍微往后，我们知道1不仅是一个苹果，而是一个人，一块橡皮，一只蚂蚁，一片树叶，一分钟，一小时，是所有这些可以用1来表示的对象的共同属性，数与具体对象有所区分。最后我们才会认识到，数是可以运算的符号，它只存在于在数与数的运算当中，与对象无关。这就是人们对数的认知，从具体到抽象，要经历的3个阶段：

1、数即对象，对象即数；
2、数是各种对象的一个共同属性；
3、数是可以运算的符号。

对于一个接受现代教育的人来说，小学毕业就应该达到第3阶段的认知水平。那么我们站在今天，回望150年前，来看康托尔以及康托尔所处的那个时代，他们对数的认知是哪个水平呢?可想而知，以康托尔为代表的知识精英，对于普通数的认知，大概都能达到第3阶段的认知水平。但是对于无穷，还处在第1阶段的前阶段，或者称为第0阶段。自亚里士多德以来，人们对无穷的讨论都是基于某个具体的过程，这个具体过程只能是不可完成的潜无穷过程，还不能是可完成的实无穷过程，都是在讨论对象，而不是在讨论数，无穷不是数，至今仍是普遍共识。康托尔是把无穷当作数来研究和讨论的第一人，为此他创制的方法是集合论，收获的成果是超穷数理论。