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一、教材出处:《人教版高中数学(A版)选择性必修第二册P10-P11》
二、定义:斐波那契数列是指这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89……这个数列从第3项开始 ,每一项都等于前两项之和。
三、特征公式及通项公式证明
至于斐波拉契数列的转化性质,大家看下面这道例题就OK了。
(多选)已知数列{Fn}:1,1,2,3,5,8,13,…,从第三项开始,每项等于其前相邻两项之和.记数列{Fn}的前n项和为Sn,则下列结论中正确的是( )
A.S6=F8
B.S2 019=F2 021-1
C.F1+F3+F5+…+F2 021=F2 022
D.F21+F22+F23+…+F22 020=F2 020F2 021
解析:BCD 因为数列{Fn}从第三项开始,每项等于其前相邻两项之和,
所以Fn+2=Fn+Fn+1=Fn+Fn-1+Fn=Fn+Fn-1+Fn-2+Fn-1=Fn+Fn-1+Fn-2+Fn-3+Fn-2=…=Fn+Fn-1+Fn-2+Fn-3+…+F2+F1+1=Sn+1,
所以S6=F8-1,S2 019=F2 021-1,故A项结论错误,B项结论正确;
又F1=F2,F3=F4-F2,F5=F6-F4,…,F2 021=F2 022-F2 020,将以上式子相加可得F1+F3+F5+…+F2 021=F2 022,故C项结论正确;
因为Fn+2=Fn+1+Fn,F1=F2=1,所以F21=F2F1,F22=F2(F3-F1)=F2F3-F2F1,F23=F3F4-F2F3,…,F22 020=F2 020F2 021-F2 020F2 019,
将以上式子相加可得F21+F22+…+F22 020=F2 020F2 021,故D项结论正确,故选BCD.
四、教材里面在数学归纳法后面也简单提了一两句。
加油,加速失败,加速迭代,与时间赛跑。
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