这些你必须懂的晶体结构标识的括号——()<>[]

撰文：DJ 责编：DJ

贵金属纳米颗粒一般具有很好的晶体结构，部分具有单晶结构。晶体是由原子或分子在空间按一定规律周期重复地排列构成的固体物质。分子的排列具有三维空间的周期性，隔一定的距离重复出现，这种周期性规律是晶体结构最基本的特征。在阅读一些文献的时候，我们经常会被各种有关晶体学表示方法。比如下面这篇文章：

图1

由图1可以知道，同样是使用三个数字来标识纳米晶的结构，有些没有括号或者有圆括号：（110）；有些是尖括号<110>；有些是中括号：[001]；有些是花括号：｛110｝；这些标识分别代表什么意思呢？今天我们就来简单介绍一下。

熟悉这篇论文的人应该知道，图1出自苏大黄小青教授，北大郭少军教授以及美国布鲁克海文国家实验室Dong Su教授于2016年年底发表在Science的论文，研之成理之前对该论文做了精彩的解读。（黄昱/段镶锋&黄小青师徒在最新Science上各发表论文一篇），今天主要讨论晶体结构的表示方法以及其意义。

先分别说明一下上面四种表示方法所指代的东西：

中括号[]表示的是晶体中的晶向

尖括号<>表示的是晶向族

圆括号（）表示的是晶面的密勒指数（晶面指数）

花括号｛｝表示的是晶面族

前面提到，晶体结构具有周期性和对称性。而晶胞是能够较好的反应晶体周期性和对称性的最小单元，整个晶体结构是由晶胞叠加而成的。借助晶胞的三条棱向量建立一套坐标系，能很好的描述晶胞内部的每一个粒子的坐标位置。

晶体中的晶面表示含有多于三个质点的平面。假如一个晶面与X，Y，Z轴相交的长度r, s, t; 分别取其倒数1/r, 1/s, 1/t，并对这三个分数进行通分；通分后三个分数的分子就是这个晶面的晶面指数h k l，也称米勒指数。（当晶面和晶轴平行时，该数值为0；当晶面与某一晶轴的负方向相交，则相应的指数上加一个负号。）

图2

若考虑到晶体所具有的对称性，有许多不平行的晶面上也具有相同的质点分布。这些晶面是彼此等同的，我们把它们称作一个晶面族，记做{h k l}

例如在立方晶系中，{1 0 0}包含(100) (010) (001) (1—00) (01—0) (001—) 共六种晶面；

{110}包含以下12个晶面：

(110)，(101)，(011)，(1—10)，(1—01)，(01—1)，(11—0)，(101—)，(011—)，(1—1—0)，(1—01—)，(01—1—)

{111}包含以下8个晶面：

(111)，(1—11)，(11—1)，(111—)，(1—1—1)，(1—11—)，(11—1—)，(1—1—1—)

晶向是指在晶体中任何一条穿过许多质点的直线方向。晶体中不同的晶向，常常具有不同的线密度等不同属性。为区分晶体这些晶向，结晶学上人们引入晶向指数。

确定晶向指数的三个步骤(采用上述晶体坐标系)：

(i) 先做一条平行于该晶向的直线，并使其通过坐标原点；(ii)在这条直线上任取一点，求其原子坐标；(iii)化为最简整数比，即为晶向指数；用[m n w]表示。简单的说：晶向上某质点原子坐标的最简整数比。

考虑晶体对称性，也有若干个晶向常常是等同的。它们构成一个晶向族，用<m n w>来表示这一系列的晶向。

例如：对于立方晶系

<100>包含六个晶向：

[100]，[010]，[1—00]，[01—0]，[001]，[001—]

<110>包含十二个晶向

[110]，[101]，[011]，[1—10]，[1—01]，[01—1]，[11—0]，[101—]，[011—]，[1—1—0]，[1—01—]，[01—1—]

<111>包含八个晶向；

[111]，[1—11]，[11—1]，[111—]，[1—1—1]，[1—11—]，[11—1—]，[1—1—1—]

在立方晶系中，由于晶胞参数(a, b, c)的特殊关系， 某一晶面(h k l)与指数相同的晶向[h k l]恰好垂直。

图3

熟悉上面的标识以及其计算方法和来源后，我们在来看看这篇文章涉及到的晶体知识。

图4

作者首先通过电子选区衍射（SAED）发现，纳米片的边缘的Pt是立方相（cubic phase）；而中间的PdPt合金是六方相（hexagonal phase）。通过计算衍射点到中心距离的比值（计算方法参见：如何通过TEM电子衍射图判断晶系？），可以确定边缘Pt的晶面指数，进而确定其晶向。而立方晶系中的<110>包含的十二种晶向以及｛110｝包含的十二种晶面在电子衍射中是不可区分的。Pt是立方晶系，由SAED，确定其晶向为[110]，由于立方晶系中具有同样特点的晶向都可以出现类似的衍射斑点。所以在<110>晶相上上述衍射斑点都成立。而面对的面应该是｛110｝晶面簇（因为立方晶系中相同数字的晶向与晶面是垂直的）。PtPb是六方晶系，通过SAED确定其晶向为[001]，从而确定这两个晶向是平行关系。因此图4C中也可以写成[001]PtPb//<110>Pt。

图5

最后得到的结论就是：六边形表面是Pt｛110｝晶面族所覆盖，正面的PtPb是｛001｝晶面族，而其两个侧面是｛010｝晶面族。

文章参考了吉林大学张彤教授《晶体学》相关课件，点击阅读原文可在课题组主页获得该课程介绍。同时感谢大连化物所刘伟老师提供的帮助。