各种模态分析方法总结与比较

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一、模态分析

模态分析的理论经典定义：将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数。坐标变换的变换矩阵为模态矩阵，其每列为模态振型。

模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。这个分析过程如果是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模记分析；如果通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析。通常，模态分析都是指试验模态分析。振动模态是弹性结构的固有的、整体的特性。如果通过模态分析方法搞清楚了结构物在某一易受影响的频率范围内各阶主要模态的特性，就可能预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下实际振动响应。因此，模态分析是结构动态设计及设备的故障诊断的重要方法。

模态分析最终目标是在识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性分析、振动故障诊断和预报以及结构动力特性的优化设计提供依据。

二、各模态分析方法的总结

1.单自由度法

一般来说，一个系统的动态响应是它的若干阶模态振型的叠加。但是如果假定在给定的频带内只有一个模态是重要的，那么该模态的参数可以单独确定。以这个假定为根据的模态参数识别方法叫做单自由度 (SDOF) 法n1。在给定的频带范围内，结构的动态特性的时域表达表示近似为：

而频域表示则近似为：

单自由度系统是一种很快速的方法，几乎不需要什么计算时间和计算机内存。

这种单自由度的假定，只有当系统的各阶模态能够很好解耦时才是正确的。然而实际情况通常并不是这样，所以就需要用包含若干模态的模型对测得的数据进行近似，同时识别这些参数的模态，就是所谓的多自由度 (MDOF) 法。

单自由度算法运算速度很快，几乎不需要什么计算和计算机内存，因此在当前小型二通道或四通道傅立叶分析仪中，都把这种方法做成内置选项。然而随着计算机的发展，内存不断扩大，计算速度越来越快，在大多数实际应用中，单自由度方法已经让位给更加复杂的多自由度方法。

(1) 峰值检测

峰值检测是一种单自由度方法，它是频域中的模态模型为根据对系统极点进行局部估计（固有频率和阻尼）。峰值检测方法基于这样的事实：在固有频率附近，频响函数通过自己的极值，此时其实部为零（同相部分最小），而虚部和幅值最大（相移达90°，幅度达峰值）图1。出现极值的那个固有频率就是阻尼固有频率ωr 的良好估计。相应的阻尼比ζr 的估计可用半功率点法得到。设ω1 和ω2 分处在阻尼固有频率的两侧 (ω1<ωr <ω2)，则：

(2) 模态检测

模态检测是根据频域中的模态模型对复模态（或实模态）向量进行局部估计的一种单自由度方法。在下式中略去剩余项

则单个频响函数在ωr 处的值近似为：

由此式可见，频响函数在ωr 处的值乘以模态阻尼因σr ，就是留数（估计值如图1）利用这种模态检测方法之前，先要估计出ωr。

图1 对频响应函数的幅值进行峰值和模态检测

(3) 圆拟合

圆拟合是一种单自由度方法，用频域中的模态模型对系统极点和复模态（或实模态）向量进行局部估计。此方法依据事实是：单自由度系统的速度频响函数（速度对力）在奈奎斯特图（即实部对虚部）上呈现为一个圆。如果把其他模态的影响近似为一个复常数，那么在共振频率ωr 附近，频响函数的基本公式为：

因此，首先要选择共振频率附近的一组频率响应点，通过这些点拟合成一个圆。阻尼固有频率ωr 可以看成是复平面上数据点之间角度变化率最大（角间隔最大）的那个点的频率，也可以看成是相位角与圆心的相位角最为接近的那个数据点的频率。对于分得开的模态而言，二者的差别是很小。

阻尼比ζr 估计如下：

式中，ω1、ω2分居在ωr 两侧的两个频率点：θ1、θ2，分别为频率点在ω1和ω2的半径与ωr 的半径之间的夹角。

圆的直径和阻尼固有频率点的角位置含有复留数U+jV 的信息：

式中，φ为圆的直径，α为圆心与固有频率点的连线跟虚轴之间的夹角。

圆拟合法速度也很快，但为避免结果出错，特别是在模态节点附近，需要操作者参与。

2.单自由度与多自由度系统

粘性阻尼单自由度SDOF系统如图2的力平衡方程式，表示惯性力、阻尼力、弹性力与外力之间的平衡。

图2 单自由度系统

其中，M为质量，C为阻尼，K、

为加速度、速度、位移，f为外力，t 为时间变量，把结构中所呈现出来的全部阻尼都近似为一般的粘性阻尼。

把上面的时间域方程变换到拉氏域复变量P，并假设初始位移和初始速度为零，则得到拉氏域方程：

或

Z为动刚度经过变换可得传递函数的定义，

即

上式右端的分母叫做系统特征方程，它的根即是系统的极点是：

如果没有阻尼C=0，则所论系统是保守系统。我们定义系统的无阻尼固有频率为：

临界阻尼Cc 的定义为使下式中

根式项等于零的阻尼值：

而临界阻尼分数或阻尼比ζ1为：ζ1=CCc ，阻尼有时也有用品质因数即Q因数表示：

系统按阻尼值的大小可以分成过阻尼系统 (ζ1>1)、临界阻尼系统 (ζ1=1) 和欠阻尼系统 (ζ1<1)。过阻尼系统的响应只含有衰减成分、没有振荡趋势。欠阻尼系统的响应时一种衰减振动，而临界阻尼系统则是过阻尼系统与欠阻尼系统之间的一种分界。

实际系统的阻尼比很少有大于10%的，除非这些系统含有很强的阻尼机制，因此我们只研究欠阻尼的情形。

在欠阻尼的情况式

两个共轭复根：

其中，σ1 为阻尼因子，ω1 为阻尼固有频率。有关系统极点的另外一些关系式有：

式

可写成如下形式：

在展开成部分分式形式，则有：

这里

这里的A1和A1*是留数。

多自由度系统

多自由度系统可以用简单的力平衡代数方程演化成形式相似的一个矩阵的方程。下面是以多自由度系统为例。如图：

图3 多自由度系统

该系统的运动方程如下：

写成矩阵形式是

其中[M]、[C]、[K]、{f(t)}和{x(t)}分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵、方向量和响应向量。把这个时间域的矩阵方程变换到拉氏域（变量为p）且假定初始位移和初始速度为零，则得：

或者是

式中，[Z(p)]动刚度矩阵。可以得到传递函数矩阵为：

式中，adj([Z(p)])为|Z(p)|的伴随矩阵，等于[εij|Zij]T；|Zij|为[Z(p)]去掉第行第列后的行列式

的传递函数矩阵含有幅值函数。

与单自由度情况一样，系统特征方程的根，即系统极点，决定系统的共振频率。根据特征值问题，可以求出系统特征方程的根。为了把系统方程

转化为一般的特征值问题公式，加入下面的恒等式：

将此式与式

结合在一起得：

如果力函数等于零，那么

就成了关于实值矩阵的一般特征值问题：

它的根就是特征方程|Z(p)|=0的根。同单自由度系统一样，多自由度系统的极点的实部是阻尼因子，虚部是阻尼固有频率。

3.实模态和复模态

按照模态参数（主要指模态频率及模态向量）是实数还是复数，模态可以分为实模态和复模态。对于无阻尼或比例阻尼振动系统，其各点的振动相位差为零或180度，其模态系数是实数，此时为实模态；对于非比例阻尼振动系统，各点除了振幅不同外，相位差也不一定为零或180度，这样模态系数就是复数，即形成复模态。

(1) 复模态与实模态理论

在拟合频段， 实模态理论中传递函数在k 点激励Z 点响应的留数表达式为

其中，rRkl 为留数，σr 和vr 构成的复数为系统的复特征值λr ，λr =-σr +jvr 拟合频段复模态理论中传递函数在k 点激励f 点响应的留数表达式为

由上式中可以看出，传递函数共振峰处复模态的相位与实模态相位的差别，在于多出的复留数相位αr，由传递函数的逆变换可以得到脉冲响应函数，由此可以得到物理坐标系中结构的自由响应表达式。

对于无阻尼结构，t时刻第r 阶模态k 点的振动为

粘性比例阻尼：t 时刻第r 阶模态k 点的振动为

一般粘性阻尼：t 时刻第r 阶模态k 点的振动为

式中，φkr表示振型幅值；Ω表示模态频率；θ表示相位角。

可以看出， 无阻尼和比例阻尼系统的初相位与初始条件有关，与物理坐标无关， 具有模态（振型）保持性；而一般粘性阻尼系统的初相位还与物理坐标 k 有关， 每个物理坐标振动时并不同时达到平衡位置和最大位置， 不具备模态保持性， 是行波形式。但各物理坐标的相位差保持不变， 各点的振动周期、 衰减率仍保持相同。从物理坐标点的自由响应公式还可看出， 即使各测点留数为复数， 但如果留数的相位差， 即振型的幅角相同， 那么还是可以得到振动周期内形状不变且节点固定的振型。这样模态虽是复模态， 但表现出实模态的性质。因此，实模态理论的实振型与复模态理论中复模态的差别在于，各测点峰值相位差的大小。

(3) 实模态提取方法

复模态理论中模态参数（特征值和特征向量）均为复数， 在进行结构模型修正时，大量采用复数矩阵和复数迭代运算，计算工作量大，效率低；实模态理论中模态参数为实数，物理概念明确，后续结构模型修正计算公式简单，计算工作量小又节约空间，故实模态得到广泛的应用。

实际测试得到的传递函数留数一般都为复数，要由复模态经过实模态提取技术才能得到实模态。复模态提取实模态的方法主要有：根据复模态的实部、虚部或相位确定实模态的传统方法；Ibrahim的扩大模型法；Chen的传递函数提取法等，目前的模态分析软件中普遍使用的为传统方法。

由复模态实部或虚部获得实模态向量的方法为：直接取复留数的实部或虚部作为实模态理论中的留数，进行规格化得到实模态振型。

由复模态相位获得实模态向量的方法为：取复留数的幅值作为实模态理论中的留数， 根据sin(αr) 的数值接近1或-1，将留数相位归为90°或-90°，然后尽享振型规格化，得到实模态振型，此振型中各测点相位差即为0°或180°。用复模态理论获得的复模态向量，由复振型的周期变化中 t=0即振动达到最大幅度时的振幅之比表示。

三、模态分析的应用与发展

模态分析技术的应用可归结为以下几个方面：

• 评价现有结构系统的动态特性；
• 在新产品设计中，进行结构动态特性的预估和优化设计；
• 诊断及预报结构系统的故障；
• 控制结构的辐射噪声；
• 识别结构系统的载荷。

对于实际的工程，用有限元软件分析需要的频率段，可查找振动原因，或校核。模态分析可以看出在那些频率段需要防止或避免共振时很有用。

首先，频率和振型是结构的固有特性，任何结构都可以进行模态分析；其次，结构的功能是不同的，不同结构对应的模态分析的用途是有差别的。对建筑结构，模态分析可以知道结构的避频设计、用于抗震设计计算以及考虑动力荷载的放大作用等。另外，还可以挖掘振型有关的信息。

机器、建筑物、航天航空飞行器、船舶、汽车等的实际振动千姿百态、瞬息变化。模态分析提供了研究各种实际结构振动的一条有效途径。

首先，将结构物在静止状态下进行人为激振，通过测量激振力与胯动响应并进行双通道快速傅里叶变换 (FFT) 分析，得到任意两点之间的机械导纳函数（传递函数）。用模态分析理论通过对试验导纳函数的曲线拟合，识别出结构物的模态参数，从而建立起结构物的模态模型。根据模态叠加原理，在已知各种载荷时间历程的情况下，就可以预言结构物的实际振动的响应历程或响应谱。

模态分析软件以美国的ME’ScopeVES的功能最为全面。ME’ScopeVES软件的功能包括信号处理 (signal Processing)、运行挠曲振型 (OperatingDeflection Shapes)、模态分析 (Modal Analysis)、结构改正 (SDM) 和声学分析 (Acoustics AnalysiS)等，解决和分析机器与结构的振动噪声问题。

主要特点：

• 可以显示被测物体的实际工作形态 (0DS)、模态、声学分布形态和工程数据的形态等；
• 模块化结构便于用户根据自己的需要选择合适的产品；
• 强大的图形显示、结构编辑、数据处理及动画显示功能；
• 软件的开放性好，能够与全球的多家厂商的硬件兼容；

主要应用的领域：航空航天、建筑桥梁、汽车制造、钢铁冶金、军工装备等。

模态分析与参数辨识作为结构动力学中的一种逆问题分析方法并在工程实践中应用是从60年代中、后期开始，至今已有近四十年的历史了。这一技术首先在航空、宇航及汽车工业中开始发展。由于电子技术、信号处理技术与设备的发展，到80年代末这项技术已成为工程中解决结构动态性能分析、振动与噪声控制、故障诊断等问题的重要工具。目前这一技术已渐趋成熟，经过二十余年的研究发展，到目前为止模态分析技术已在我国各个工程领域中广泛应用，成为一种解决工程问题的重要手段。

模态分析技术发展到今天已趋成熟，特别是线性模态理论方面的研究已日臻完善，但在工程应用方面还有不少工作可做。首先是如何提高模态分析的精度，扩大应用范围。增加模态分析的信息量是提高分析精度的关键，单靠增加传感器的测点数目很难实现，目前提出的一种激光扫描方法是大大增加测点数的有效办法，测点数目的增加随之而来的是增大数据采集与分析系统的容量及提高分析处理速度，在测试方法、数据采集与分析方面还有不少研究工作可做。对复杂结构空间模态的测量分析、频响函数的耦合、高频模态检测、抗噪声干扰……等方面的研究尚需进一步开展。

模态分析当前的一个重要发展趋势是由线性向非线性问题方向发展。非线性模态的概念早在1960年就由Rosenberg提出，虽有不少学者对非线性模态理论进行了研究，但由于非线性问题本身的复杂性及当时工程实践中的非线性问题并引引起重视，非线性模态分析的发展受到限制。近年来在工程中的非线性问题日益突出，因此非线性模态分析亦日益受到人们的重视。最近已逐步形成了所谓非线性模态动力学。

关于非线性模态的正交性、解耦性、稳定性、模态的分叉、渗透等，是当前研究的重点。在非线性建模理论与参数辨识方面的研究工作亦是当今研究的热点。非线性系统物理参数的识别、载荷识别方面的研究亦已开始。展望未来，模态分析与试验技术仍将以新的速度，新的内容向前发展。