数学基本知识—极限的基本比较法测、几个重要的极限

在论述函数的连续性时已经知道连续函数在连续点上的函数极限就是此点上的函数值，而初等函数在其定义域内各点连续，可见对于初等函数（我们所打交道的绝大多数都是初等函数）其定义域内函数极限的求解是非常简单的。但是，真正具有价值的函数极限点通常是在其第一类间断点上，这给相关函数极限的求解带来了挑战。当然，也正是由于此，《高等数学》才可能有其几乎无限的用武之地。下面将详细论述相关内容。

一）无穷小量和无穷大量

无穷小量就是极限为零的数列或函数极限，即lim X(n) = 0或lim f(x) = 0。无穷大量则是以无穷大为其极限的数列或函数极限，即lim X(n) = ∞或lim f(x) = ∞。显然，无穷小量的倒数是无穷大量，而无穷大量的倒数则是无穷小量。

二）待定型（或不定式）

在求函数商的极限时要求分母函数在极限点上的值不为零。如果在极限点上分母函数和分子函数的值都是零，则其极限点上的函数商无定义。虽然无定义，但此点上函数商的左右极限未必不存在。如果此极限点是个第一类间断点，或特别的是可去间断点的话，就可以通过其左右极限定义此点的函数值，故称为“待定”。

待定型的基本形式是0/0，即分母和分子都是无穷小量。除基本形式外，待定型还有几种变形，如∞/∞、0*∞、∞-∞、0^0、∞^0、1^∞等。这些待定型的变形都可以通过适当的变换变成基本形式。如：

e^(∞-∞) = ∞/∞ = 0/0

ln(0^0) = 0*∞ = 0/0

ln(∞^0) = 0*∞ = 0/0

ln(1^∞) = ∞*0 = 0/0

待定型的求解一般不那么直接，需要一定的技巧。但是，对于某些类型可以采用以后将介绍的洛必达法则求解。

三）无穷小量和无穷大量的比较及其阶

分析待定型的值可以比较无穷大或无穷小量的变化“速度”，并据此确定相应的阶。具体定义如下：

设u(x)和v(x)在x0点上都是无穷小量，即lim[x→x0] u(x) = lim[x→x0] v(x) = 0。

1）lim[x→x0] u(x)/v(x) = 0，则称u(x)是较之v(x)的高阶无穷小量，记为u(x) = o(v(x))。

2）lim[x→x0] u(x)/v(x) = a ≠ 0，则称u(x)是较之v(x)的同阶无穷小量，记为u(x) = O(v(x))。

3）lim[x→x0] u(x)/v(x) = 1，则称u(x)是较之v(x)的等价无穷小量，记为u(x) ~ v(x)。

设u(x)和v(x)在x0点上都是无穷大量，即lim[x→x0] u(x) = lim[x→x0] v(x) = ∞。

1）lim[x→x0] u(x)/v(x) = ∞，则称u(x)是较之v(x)的高阶无穷大量。

2）lim[x→x0] u(x)/v(x) = a ≠ 0，则称u(x)是较之v(x)的同阶无穷大量，记为u(x) = O(v(x))。

3）lim[x→x0] u(x)/v(x) = 1，则称u(x)是较之v(x)的等价无穷大量，记为u(x) ~ v(x)。

以上定义中将x→x0改为x→∞则可得到相应的定义。

四）几个重要的极限

1）lim[x→0] sin(x)/x = 1

2）lim[x→∞] (1+1/x)^x = e

3）lim[x→0] [((1+x)^(1/n)-1)/(x/n)] = 1

4）lim[x→0] [(e^x-1)/x] = 1

5）lim[x→0] [ln(x+1)/x] = 1

这些函数极限在极限求解和近似计算中都有相应的应用。