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有一类很重要的函数，名叫“双曲函数”，很多人对这类函数不太熟悉，我们这次重点研究下这类函数，这类函数在工程上十分重要，它们实际上是伪装的“指数函数”，但有时候它们在很多方面又比较像三角函数。
一， 双曲正弦和双曲余弦函数
先看看定义吧：
双曲正弦函数：
双曲余弦函数：
图像如下：
图1-0
两个函数绘制在一起，这样可以进行行为上的比较，初步的感觉是这两个函数“瘦高瘦高的”。双曲正弦函数sinh(x)是个奇函数，双曲余弦函数cosh(x)是个偶函数，在x->+∞时候，这两个函数基本上重合，这是什么原因？其实很简单，x->+∞时候，趋于0，这样sinh(x)和cosh(x)的行为都会变成，这正说明双曲正余弦函数的行为很像指数函数。
另外一方面，
上面两式相减：
，这个式子有没有觉得很像正余弦的平方关系：，虽然很像，但是毕竟不一样，上式中间的减号让一切变得不同。
而是一个双曲线的方程，图像如下：
图1-1
从这个角度讲sinh(x)，cosh(x)叫双曲函数似乎也合理，但为什么还要加上正弦，余弦呢？
来来来，比较一下它们之间的导数关系：
|
三角函数 |
双曲函数 |
|||
|
sin(x) |
cos(x) |
sinh(x) |
cosh(x) |
|
|
奇偶性 |
奇 |
偶 |
奇 |
偶 |
|
单调性 |
在[-π/2,π/2]增 |
[-π/2,0]增， [0,π/2]减， |
在(-∞,+∞)增 |
(-∞,0]减， [0,+∞)增 |
|
周期性 |
2π |
2π |
无 |
无 |
|
平方关系 |
|
|
||
|
导数 |
sin’(x)=cos(x) |
cos'(x)=-sin(x) |
sinh'(x)=cosh(x) |
cosh'(x)=sinh'(x) |
我的理解是双曲函数和三角函数某些性质太像了，所以给双曲函数冠名正弦余弦应该也是明智之举！
我们发现，基于指数函数定义了双曲正弦函数，双曲余弦函数之后，按照三角函数的脉络，自然会定义出基于正余弦的一系列函数，包括双曲正余切函数，双曲正余割函数，反双曲正余弦函数，反双曲正余切函数，反双曲正余割函数，这套逻辑是十分通畅的，下面仔细看看吧！
二， 双曲正切和双曲余切函数
双曲正切函数y=tanh(x),双曲余切函数y=coth(x)
双曲正切函数：
性质：
（1）定义域：（-∞，+∞）；
（2）值域：（-1，1）；
（3）单调性：（-∞，+∞）内单调增函数；
（4）奇函数；
（5）渐近线：有2条渐近线，两条水平渐近线y=-1和y=1；
（6）有界性：|tanh(x)|<1；
双曲正余切函数也具有倒数关系，tanh(x)=1/coth(x),的确和三角函数很像！下面是双曲正切函数图像。
图2-0
双曲余切函数：
性质：
（1）定义域：（-∞，0）U（0，+∞）；
（2）值域：（-∞，-1）U（1，+∞）；
（3）单调性：（-∞，0）内单调减函数，（0，+∞）内单调减函数；
（4）奇函数；
（5）渐近线：有3条渐近线，两条水平渐近线y=-1和y=1,一条竖直渐近线x=0
这些性质都可以从下面图像中获取。
图2-1
真可谓，一图胜百言！
三， 双曲正割和双曲余割函数
基于前面的逻辑，可以继续写出双曲正割和双曲余割函数。
双曲正割函数y=sech(x),双曲余割函数y=csch(x).
双曲正割函数：
这次先绘图，再描述性质，图像如下：
图3-0
性质：
（1）定义域：（-∞，+∞）；
（2）值域：（0,1]；
（3）单调性：（-∞，0]上单调增函数，[0，+∞）上单调减函数；
（4）偶函数；
（5）渐近线：1条水平渐近线y=0，也就是x轴。
初步看起来这个函数很像正态分布的函数，一点也不错，它的行为就是“正态分布函数”，因为它们都是指数函数。
双曲余割函数：
看看它的图像吧：
图3-1
性质：
（1）定义域：（-∞，0）U（0，+∞）；
（2）值域：（-∞，0）U（0，+∞）；
（3）单调性：（-∞，0)上单调减函数，(0，+∞）上单调减函数；
（4）奇函数；
（5）渐近线：1条水平渐近线y=0，也就是x轴，1条竖直渐近线x=0,也就是y轴。
这个函数很像反比例函数，也就是所谓的双曲函数.
如何把它们画在一起看看呢？
图3-2
可以看到，x->0时候，y=csch(x)和y=1/x的行为很接近，但是x->∞时候，明显y=csch(x)比y=1/x更易收敛于0.
后面讨论下反双曲函数。
四，反双曲正弦和反双曲余弦函数
按照老习惯，原函数和反函数同时出现，同时加入y=x,反函数最重要的还是那句话：一个函数图像和它的反函数的图像关于y=x对称（切记这个，这是学反函数最重要的一条！）
先看看图像吧。
图4-0
从图像看出来双曲反正弦函数的性质：
（1）定义域：（-∞，+∞）；
（2）值域：（-∞，+∞）；
（3）单调性：单调增函数（增加的速度并不快！）
（4）奇函数。
图4-1
从图像看出来双曲反余弦函数的性质：
（1）定义域：[0，+∞）；
（2）值域：[0，+∞）；
（3）单调性：单调增函数（增加的速度并不快！）
五，反双曲正切和反双曲余切函数
先看看图像吧：
图5-0
从图像总结的反双曲正切函数性质：
（1）定义域：（-1，1）；
（2）值域：（-∞，+∞）；
（3）单调性：（-1，1）内单调增函数；
（4）奇函数；
（5）渐近线：两条竖直渐近线x=-1和x=1（就像被卡在两条线之间的函数）
下面是反双曲余切函数图像：
图5-1
从图像总结的反双曲正切函数性质：
（1）定义域：（-∞,1)U(1,+∞)；
（2）值域：（-∞,0)U(0,+∞)；
（3）单调性：（-∞，1）内单调减函数，（1，+∞）内单调减函数；
（4）奇函数；
（5）渐近线：3条，两条竖直渐近线x=-1和x=1，一条水平渐近线y=0.
六，反双曲正割和反双曲余割函数
看看反双曲正割函数图像：
图6-0
从图像总结的反双曲正割函数性质：
（1）定义域：（0，1]；
（2）值域：[0,+∞)；
（3）单调性：（0，1]内单调减函数；
（5）渐近线：一条竖直渐近线x=0.
下面是反双曲余割函数图像：
图6-1
从图像总结的反双曲余割函数性质：
（1）定义域：（-∞,0)U(0,+∞)；
（2）值域：（-∞,0)U(0,+∞)；
（3）单调性：（-∞，0）内单调减函数，（0，+∞）内单调减函数；
（4）奇函数；
（5）渐近线：2条，1条竖直渐近线x=0，一条水平渐近线y=0.
七，反双曲正割和反双曲余割函数
下面这张图我把三角函数，反三角函数，双曲函数，反双曲函数全部放一起了，仔细看看，三角函数还是蛮像双曲函数的，他们之间的差异我想可以理解为由指数函数带来的，三角函数和双曲函数最大的区别应该就是周期性吧。还是想多说几句，别看这么多函数，有人是不是头都要炸了，根本不需要记住这么多，一切都是水到渠成，只需要记住最基本的三个函数：y=sinh(x),y=cosh(x)和y=tanh(x)，其余一切双曲函数都可以推出来，利用的就是基本作图法，有倒数作图，反函数图像和原函数图像关于y=x对称。
图7-0
好了，这集就先到这里吧，如果感兴趣，可以看看往期的文章。
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千奇百怪的函数图像（第一集），建议收藏研究！
千奇百怪的函数图像（第二集），建议收藏研究！
千奇百怪的函数图像（第三集）——三角函数家族，魅力四射
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