第二章：三等分任意角

本文将以初等几何知识，以及纯几何的手工操作，通过尺规作图来三等分任意角。在作图之前，首先，要明确一下，任意角的概念，任意角是指，0º＜∝≤360º，不包含负角和超过360º的角。

给定：0º＜∝＝∠XOY≤360º

求解：三等分∝（参照图1）

一、作图：

（1） 、作∝两条同心弧线AB弧、A2B2弧。（参照图2）

以O为圆心，以任意长为半径，作弧，交OX于点A，交OY于点B。则：OA＝OB（同圆半径）。再以O为圆心，以任意长为半径，作弧，交OX于点A2，交OY于点B2。则：OA2＝OB2（同圆半径） AA2＝BB2（等量相等）。

（2）、作∝的平分线OP（参照图3）

分别以A2、B2为圆心，以大于½A2B2弧的任意长为半径，作弧，两弧相交于点P，连接O、P。则：OP即为∝的平分线，同时，交AB弧线于点C，交A2B2弧线于点C2。

则：AC弧＝CB弧，A2C2弧＝C2B2（等量相等） 。

（3） 、将 A2B2弧线分成两边相等且小于（微小）中间的三段弧（参照图4）

以中间的一段弧大于（微大）两边相等的两段弧的任意长为半径，截取：DD2弧＞A2D弧＝D2B2弧。然后，连接C、D，C、D2。则：CD＝CD2（等量相等）。此时，便形成两个四角扇形（AA2DC、CD2B2B）和一个三角扇形（CDD2）的组合图形。

（4） 、作AC弧和A2D弧的平分线OP2、OP3。（参照图5）

分别以A2、D为圆心，以大于½A2D弧的任意长为半径，作弧，两弧相交于点P2，连接O、P2，则：OP2即为A2D弧的平分线。再分别以A、C为圆心，以大于½AC弧的任意长为半径，作弧，两弧相交于点P3，连接O、P3，则：OP3即为AC弧的平分线。

（5）、在三角扇形（CDD2） 的上面，叠加一个与四角扇形（AA2DC、CD2B2B）的弧线边对应相等的正四角扇形（EFF2E2） （参照图6）

以C为圆心，以½AC弧的长为半径，作：EE2弧＝AC弧。再以C2为圆心，以½A2D弧的长为半径，作：FF2弧＝A2D弧。再连接E、F交CD于点W。连接E2、F2交CD2于点W2。此时，即得正四角扇形（EFF2E2），且同时得到（W、W2）两个交点，此两交点即为∠XOY的三等分点。最后，再连接O、W，O、W2。则：OW，OW2三等分∠XOY。

∴、∠AOW＝∠WOW2＝∠W2OB

则：∠AOW＋∠WOW2＋∠W2OB＝∝。

二、证明：

（1）、作辅助图（参照图7）

首先，作两条平行线L∥L2，然后，在L上依次截取：

AA2＝A2A3＝A3A4，在L2上依次截取：BB2＝B2B3＝B3B4。

再连接A、B，A2、B2，A3、B3，A4、B4。然后，再作第三条平行线L3，同时，交AB于点C，交A2B2于点C2，交A3B3于点C3，交A4B4于点C4。再分别作AB、A2B2、A3B3、A4B4的延长线且共同交于点O。此时，便形成三个连在一起的三角形的组合图形。

（2）、作辅助图（参照图8）

在（参照图6）的基础上，作∝的第三条同心弧线。

以O为圆心，以OW或OW2为半径，作弧，交OX于点A3，交OY于点B3。

则：OA3＝OW＝OW2＝OB3

（同圆半径）。

（3）、证明：

由（参照图7）的作图可知

L∥L3∥L2。则：AA2∥CC2∥BB2，

A2A3∥C2C3∥B2B3，

A3A4∥C3C4∥B3B4。

根据平行线分线段成比例定理的推论：“平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例”。

可得：

OA╱OC＝OA2╱OC2＝AA2╱CC2，

OA2╱OC2＝OA3╱OC3＝A2A3╱C2C3，

OA3╱OC3＝OA4╱OC4＝A3A4╱C3C4。

则：

AA2╱CC2＝A2A3╱C2C3＝A3A4╱C3C4。

已知：AA2＝A2A3＝A3A4。

∴、CC2＝C2C3＝C3C4。

又已知：BB2＝B2B3＝B3B4，

因此，可得出结论：“当两条平行线被直线所截得的图形的平行边是对应相等的，那么，每个图形的直线边与第三条平行线的交点间的距离也是相等的”。

即：∵、AA2＝A2A3＝A3A4，

BB2＝B2B3＝B3B4，

∴、CC2＝C2C3＝C3C4。

由（参照图8）的作图可知：

AB弧线、A3B3弧线、A2B2弧线同为同心弧线，通过类比思维的考究，可使我们认识到，同心弧线不就是弯曲的平行线吗？或者说是平行弧线。大家知道平行线的定义是：“在同一平面内，永不相交（也永不重合）的两条直线叫做平行线”。而同心弧线，则正是具备这永不相交的特点和性质的。至于，它与平行线还有多少其他的相似点，今天我们不做探究。只就“平行”这个性质点来讲，同心弧线与平行线是可类比的、是相似的也就是平行的。

即：AB弧线∥A3B3弧线∥A2B2弧线。

所以，同心弧线的组合图形与平行线的组合图形就是同理的。因此，我们又可得出同理的结论：“当两条同心弧线，被直线所截得的图形的弧线边是对应相等的，那么，每个图形的直线边与第三条同心弧线的交点间的距离（弧长）也是相等的”。

由（参照图6）的作图可知：

三个四角扇形（AA2DC、CD2B2B、EFF2E2）的弧线边是对应相等的。

即：AC弧＝CB弧＝EE2弧，

A2D弧＝D2B2弧＝FF2弧

根据同理的结论：

∵、AC弧＝CB弧＝EE2弧，

A2D弧＝D2B2弧＝FF2弧。

∴、A3W弧＝WW2弧＝W2B3弧

因此：

∠A3OW＝∠WOW2＝∠W2OB3

（同圆内，等弧对等角）。

则：

∠A3OW＋∠WOW2＋∠W2OB3＝∝

得证。

综上，我们已证明∝被三等分，作图会有误差，只要有了相等的理论。也只有理论上的相等，才是真正的相等。

总之，全文的中心思想就是：“以同心弧线的平行为基准，以两个图形的叠加求得等分点”。另外，通过已上的作图操作还发现，该方法不但具有任意性，而且，还具有多等分性。因此，还可将任意角五等分、七等分、等任意等分。同时，正多边形不完备的问题也将随之而解。

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刘小顺：作。