​导读：

极值法的计算很简单，但实际应用中却不简单，存在着很多困惑和争论：什么时候用极值法？为什么用极值法？为什么不用极值法？

本文试着以一个全新的视角来解释极值法背后的深层次逻辑。

01

赶飞机的极值法计算

假设你经常要从家里出发到打车去机场坐飞机,按照过往的经验统计：

• 滴滴下单到司机接单时间为5±2分钟
• 等待司机上门的时间为10±3分钟
• 到飞机场时间为50±20分钟
• 机场安检以及步行至登机口为30±10分钟

那么，使用极值法，从滴滴下单到登机口的最快时间和最慢时间是多少？

到登机口最慢的时间，发生在每一个环节都处在最坏情况下：

• 刚好附近司机少，接单时间最长，为5+2=7分钟；
• 司机来晚了：10+3=13分钟
• 到机场路上堵了：50+20=70分钟
• 机场安检人很多：30+10=40分钟

到登机口最慢的时间=7+13+70+40=130分钟。

到登机口最快的时间，发生在每一个环节都处在最顺利的情况之下：

• 家里附近司机很多，都在抢单，时间为5-2=3分钟；
• 司机来得很早：10-3=7分钟
• 到机场路上堵了：50-20=30分钟
• 机场安检人很多：30-10=20分钟

到登机口最快的时间=3+7+30+20=60分钟。

总结下来，从滴滴下单到登机口最快为60分钟，最长为130分钟，转化为双向对称公差，即为95±35分钟。

95±35也可以通过以下方式计算而得

尺寸：5+10+50+30=95

公差：2+3+20+10=35

这就是极值法，仅仅考虑每一环节都处于极值的情况下，而不考虑中间的任意状态。

02

极值法简介和计算

什么是极值法

极值法是考虑零件尺寸最不利的情况，通过尺寸链中尺寸的最大值或最小值来计算目标尺寸的值。

极值法被认为是目前应用范围最广泛且最易于理解的方法。

但是，极值法是公差分析时最合适的计算方法吗？这需要打一个大大的问号。

极值法的计算

1）名义值的计算

目标尺寸的名义值为尺寸链上尺寸的名义值之和：

式中Dasm是目标尺寸的名义值，Di是尺寸链上各尺寸的名义值。

2）公差的计算

目标尺寸的公差为尺寸链上各个尺寸的公差之和：

式中Tasm是目标尺寸的公差，Ti是尺寸链上各尺寸的公差。

极值法计算实例

例1：如图所示，尺寸A为10±0.2mm，尺寸B为15±0.3mm，请计算尺寸AB累积后的名义值和公差。

解：

名义值为：10+15=25mm

公差为：0.2+0.3=0.5mm

即尺寸A和B累积后的尺寸为25±0.5mm

是不是计算很简单？实际产品中的计算仅仅是尺寸数量不是两个，而是多个的区别，另外还有尺寸正负的区别。

03

极值法的累积公差更大

相对于均方根法和蒙特卡洛法，极值法计算的累积公差更大。

如图所示，假设尺寸链中各尺寸的公差均为±0.1mm，那么累积公差按照极值法的计算结果大于均方根法；随着尺寸数量的增加，二者的差距越大。

▲极值法和均方根法的计算结果对比

在赶飞机的案例中：

极值法：到登机口时间为95±35分钟，

均方根法：到登机口的时间为95±22.65分钟。

04

极值法会加大成本

极值法计算的累积公差更大，这一点本身可能并没有太多的价值。

但是，反过来说，当目标公差一定时，极值法要求尺寸链中尺寸更精密的公差寸要求，这会增加产品成本。这一点在降本设计中非常重要。

▲极值法要求更精密的公差

例如，如果两个尺寸的累积公差要求不超过±0.5mm，假设平均分配公差：

极值法：每一个尺寸的公差需要做到±0.25mm

均方根法：每一个尺寸的公差公差需要做到±0.33mm

显然，使用极值法要求更精密的公差。

因此，极值法要求的公差更精密，成本更高。而尺寸链数量越多，极值法和均方根法要求的尺寸精密度要求差距更大。

在赶飞机的案例中，如果我们希望控制到飞机场的公差，减小变异，例如从95±35分钟减少到95±23分钟。

如果使用极值法，则需要调整每一个环节的公差，例如：

• 从滴滴下单到司机接单时间为5±4分钟，需调整为5±2。5±4分钟，通过在滴滴下单时加钱，让司机主动抢单；
• 等待司机上门的时间为10±6分钟，需调整为10±4分钟。让司机超速、任意变道、走紧急车道，代价是扣分罚钱；
• 到飞机场时间为50±20分钟，调整为50±15，让司机开、超速、任意变道、走紧急车道，代价是扣分罚钱；
• 机场安检以及步行至登机口为30±10分钟。付费坐机场小车，30±7分钟。

可以看出，使用极值法需要调整每一环节的公差，而公差调整就意味着成本。

而使用均方根法，不改变当前每一个环节的公差，即可满足95±23分钟的要求。

当然，使用极值法，成本仅仅是一个因素，更关键是实现不了。当尺寸链数量过多时，尺寸精度要求常常超过制程能力，即使土豪、即使再有钱，也实现不了。

05

当同一目标尺寸两个方向都有要求时，极值法很难

对于同一个目标尺寸，我们常常两个方向都有公差要求。

例如，我们把零件组装到一个槽里，对于间隙这个目标尺寸，有时会有要求：

间隙需要大于0，否则组装不上。

间隙不要太大，否则会晃动或影响外观。

即0<间隙<一个数值。

如果使用极值法，就变得非常难以操作。往往是满足一个方向的要求，但是另外一个方向的累积公差大，难以满足，除非把尺寸链中的公差设定得很精密。

例2，尺寸A和B装入尺寸C的槽中，在给定如图所示公差的情况之下，为了满足间隙大于0的要求，使用极值法要求间隙名义值设计为为0.9mm（等同于C的名义值为25.9mm），以补偿尺寸A、B在最大值以及C为最小值时的误差。

▲使用极值法时

但是，如果间隙的名义值为0.9mm，当尺寸A、B在最小值以及C在最大值时，会产生最大间隙1.8mm。

而如果使用均方根法，只需要把间隙名义值设计为0.54mm（等同于C的名义值为25.54mm）即可。而当尺寸A、B在最小值以及C在最大值时，会产生最大间隙1.08mm。

▲使用均方根法时

通过以上对比，我们是不是可以发现：如果我们既要求间隙能够大于0，使得不会组装干涉；有要求间隙不能太大，否则会发生晃动或外观不良，那么使用极值法就会很难实现。

赶飞机

对于赶飞机的情况，如果我既要求能够保证赶上飞机，又要求不希望在机场等待时间太久，如果我们使用极值法，那么事情就非常难办。

为了100%赶上飞机，你考虑了去机场路上每一个环节的最差状况，于是你提前130分钟就出发去机场。

而事实上，有可能每一个环节会碰到最好的情况:

• 家里附件司机很多，都在抢单；5-2=3分钟；
• 司机来得很早：10-3=7分钟；
• 到机场路上很顺畅：50-20=30分钟；
• 机场安检人很少：30-10=20分钟；

结果你提前了60分钟就到达登机口了，这意味着你需要在机场白白等待70分钟，这是一个非常高昂的代价。

如果我们要求：既能赶上飞机、又不想在机场白白的等待很久，那么这个时候使用极值法，那基本上就无解了。

06

极值法与实际情况并不符合

极值法与实际情况并不符合，这是因为尺寸链中尺寸同时都处于最大值或最小值的情况的几率非常小。

在尺寸分布形态这篇文章中，我们介绍了尺寸分布一般都是遵循正态分布，那么尺寸处于最大值和最小值的几率非常小。

▲极值法仅仅考虑尺寸处于最大值和最小值

赶飞机

为了能够准时赶飞机，我们不得不很早就提前出发，因为需要考虑每一个环节都处在最坏的情况之下。

但是，事实上上每一个环节都在最坏情况下发生的概率非常非常之低：

• 刚好附近司机少，接单时间最长，为5+2=7分钟；
• 司机来晚了：10+3=13分钟
• 到机场路上堵了：50+20=70分钟
• 机场安检人很多：30+10=40分钟

到登机口最长的时间=7+13+70+40=130分钟

如果这种情况发生，那么你可以去买彩票了，一定中奖。

07

什么时候极值法适用

使用极值法时，如果尺寸链中每一个尺寸都保证在设计的公差范围之内，则百分百不会出现缺陷的情况。

所以，极值法适用于对品质要求非常高、不容许出现失效的场合，这种失效可能会代价高昂，或者会对人的生命造成危险，例如某些军工产品或者医疗产品可以使用极值法。

在赶飞机的案例中，如果我们提前130分钟滴滴下单，同时每一个环节都在规定的公差之内，那么百分百不会误机。

一个误区：极值法适用于尺寸数量少时

一个常见的误区是极值法适用于尺寸数量比较少的情形，在尺寸数量多的时候适用于用统计分析法。

其实，尺寸数量多少并不是判断用哪一种计算方法的依据。极值法适用于尺寸数量少，仅仅是因为极值法仅仅只有这一种应用场合，在尺寸数量多时，极值法根本上就没有应用的空间。

在尺寸数量少时可以用极值法，是因为尺寸数量少时，公差累积小，对尺寸链中的尺寸要求并不精密，使用极值法也有机会满足制程能力要求。

而在尺寸数量多时，公差累积大，使用极值法必然要求尺寸链中尺寸非常精密的公差，那么有可能就会超过制程能力要求，使得产品不良率高、成本高，在这种情况下就无法使用极值法，除非是土豪或者对品质要求很高。

08

写在最后

公差分析说难其实也不难，这主要是看大家愿不愿意花时间和精力去思考其背后深层次的逻辑。

这篇文章花了好几天的时间构思和写作，希望能够解决大家的困惑。如果大家觉得有任何想法，可以在文末留言讨论。

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作者简介：钟元，著有书籍《面向成本的产品设计：降本设计之道》和《面向制造和装配的产品设计指南》

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