必修二第十章：概率

一、学习本章要注意以下五点：

1，了解概率论的特点，把握整体的逻辑关系；

2，重视核心概念“随机事件”的数学抽象；

3，重视数学思想方法的培养；

4，有意识地将统计与概率联系起来；

5，重视信息技术的应用。

二、本章需要掌握的内容有：

8个重要概念：样本空间，随机事件，并事件，交事件，互斥事件，对立事件，相互独立事件，古典概型。

2种重要关系：事件之间的包含关系，频率与概率的关系。

5个计算公式：古典概型公式，互斥事件加法公式，对立事件概率公式，并事件概率公式，相互独立事件概率公式。

4种重要方法：列举法，列表法，树状图法，随机模拟法。

三、思想方法归纳

1，数形结合的思想

在判断事件之间的关系时，Venn图具有直观、形象的特点，将随机事件概率问题图形化有助于准确捕捉有用的解题信息。在概率问题中利用树状图法或列表法等求基本事件的总数和事件 A 包含的事件数，也是数形结合的典范。

2，分类与整合的思想

分类与整合的思想实际上就是一种逻辑划分。在解决概率问题时，按照某一确定的标准，将某一对象划分为若干个既有联系又有区别的部分，然后分别解决，从而达到解决问题的目的。在本章中求随机事件的概率特别是求解古典概型问题时，要考虑各类情况对应的结果数目，分类讨论时应做到有序且不重不漏。

3，方程思想

本章中的方程思想主要体现在利用概率的性质，如互斥、对立、相互独立等构建方程，进而用方程的思想解决问题。

4，化归与转化的思想

本章中多次用到了化归与转化的思想，比如在求解概率时，有时要转化为求互斥事件的和事件，有时要转化为求对立事件，有时还要将代数问题转化为几何问题等。

四、专题归纳总结

1，随机事件的概率

a，用频率估计概率

频率与概率的区别和联系：频率是概率的近似值。随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身也是随机的，做两次同样的试验，可能会得到不同的结果；而概率是一个确定的数，与每次的试验无关。

用频率估计概率有以下两种情形：

1，对于只有一组试验数据的，我们通常用事件 A 发生的频率作为相应概率的估计值；

2，对于有多组试验数据的，通常将各组中事件 A 发生的频率按试验次数从小到大的顺序，观察频率的稳定性，得到概率的估计值。

b，互斥事件与对立事件的概率求解

互斥事件与对立事件都是描述两个事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者中必须有一个发生。因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件。

c，随机事件的概率与统计在实际生活中的应用

完全依据对数据处理能力的考查要求命制的概率与统计问题，体现了收集数据、利用统计中的方法（频率分布表和频率分布直方图）整理数据的能力，以及对实际问题的判断能力等。解答时，可根据作频率分布表和频率分布直方图的方法进行整理。

2，古典概型问题的求解

古典概型是一类最基本的概率模型，是学习概率知识的基础，解题时要紧紧把握古典概型的两个特征：有限性和等可能性，确定样本空间和所求事件 A 中样本点的个数，严格按公式P(A)=n(A)/n(Ω)进行计算。

3，复杂事件的概率问题

(1）通过对结果分类转化为互斥事件，有一个发生用概率加法公式，通过对过程的分步转化为相互独立事件，同时发生用乘法公式计算，在概率运算中注意“正难则反”思想的运用。

(2）对于一个概率问题，应首先搞清楚它的类型，不同的类型采用不同的计算方法，一般的问题中总有些关键语句说明其类型，对于复杂问题要善于进行分解，或者运用逆向思考的方法。

注意：解决相互独立事件的概率问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：

(1）相互独立事件与独立重复试验分不清；

(2）对相互独立事件的各种情况分析不到位，漏掉或增加某种情况。

4，概率与统计的综合问题

a，概率与随机抽样的综合问题

b，概率与用样本估计总体的综合问题