漫谈切线（上）

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切线问题是高考绕不开，考生避不开的热门话题，今天我们就来聊一聊切线。

首先我们说说什么是切线，也就是切线的定义是怎样的？我们先请看下面的图形一动态演示：

图形一

其实数学领域关于切线并没有一个明确的说法，我结合高中与大学中的相关的知识，说说我对切线的认识，欢迎大家指正。

所谓曲线的切线，就是当曲线一动点Q向这曲线上一定点P无限靠近时（如上图），如果割线PQ向一条直线l（上图中的红色直线）无限靠拢，也就是说，割线PQ存在一个极限位置的直线l,那么我们称直线l是该曲线在点P处的切线，点P称为切点。

再看图形二，图形三，当切点P运动时，切线给我们的直观印象和割线有什么区别？

图形二

图形三

在直观上，切线给我们它与曲线“擦肩而过”的感觉！割线给我们它与曲线“穿身而过”的印象！

在教学中，有同学说，切线也可以这样定义：如果直线与曲线有且只有一个公共点，那么称这条直线是曲线的切线。

这种说法对不对呢？我们可以再看看上面图形二中的切线。

我们看到，这条切线与曲线的公共点就有两个。

事实上，切线与曲线公共点的个数是与曲线本身和切线的位置有关，而且还可能出现切线与曲线有多个以上公共点的情形，如下图四，直线与曲线相切就有三个公共点，当然，切点是只有一个，其它是普通的交点。

图形四

当然，直线与曲线相切时只有一个公共点（就是切点）的情形也有，比如我们熟悉的直线与圆相切，直线与椭圆相切。如图形五，图形六：

图形五

图形六

通过上面的图形演示我们知道了，相切时可以有多个公共点 ，那么，反过来，如果直线与曲线只有一个公共点，那么直线与曲线一定相切吗？我们看下面的图七直线与抛物线的位置关系的演示：

图形七

我们发现：当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，但只有一个公共点，而且不是相切。

再看，图形八的演示：

图形八

我们发现：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个公共点，而且不是相切。

通过上面两个图形的演示，我们得到：直线与曲线只有一个公共点时，直线与曲线不一定相切。

综上可知：直线与曲线相切和直线与曲线的公共点个数没有必然的联系。

本篇我们说了与切线概念有关的一些问题，那么我们怎么解与切线有关的问题呢？我们将在下篇详细谈这个话题。