内插法，函数发展历史中的经典应用模型

数学史表明，重要的数学概念的产生和发展 ，对数学发展起着不可估量的作用．有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用．我们学过的函数就是这样的重要概念．

在西方，在笛卡尔引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域．纵览宇宙，运算天体，探索热的传导，揭示电磁秘密，这些都和函数概念息息相关．正是在这些实践过程中，人们对函数的概念不断深化．

中文数学书上使用的”函数”一词是转译词．是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1895年）一书时，把”function”译成”函数”的．

中国古代”函”字与”含”字通用，都有着”包含”的意思．李善兰给出的定义是：”凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：”凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数．”所以”函数”是指公式里含有变量的意思．

古代天算家由于编制历法而需要确定日月五星等天体的视运动，当他们观察出天体运动的不均匀性时，内插法便应运产生。即若不知道函数的表达式，只知道某区间内若干个点的值，能近似求出该区间上这个函数其他点的值吗？听上去是不是很厉害，其实就是我们常用的借用函数模型来模拟未知呀！这是现代计算数学常需解决的问题，

下面介绍内插法基本思路：已知函数f（x）在自变量是x1，x2，……xn时的对应值是f（x1）。f（x2），……f（xn），求xi和xi＋1之间的函数值的方法，称作内插法。如果xn是按等距离变化的，称自变数等间距内插法；如果xn是接不等距离变化的，称自变数不等间距内插法。例如f（x）＝x³，当x＝1，2，3，4，5，……时x³＝1，8，27，64，125，……求x＝4.26时x³＝（4.26）的值，就可以应用等间距内插公式。

等间距内插法的一般公式是：从n级差分的定义容易得到，当f（x）是一次函数时，二级差分是0；f（x）是二次函数时，三级差分是0；f（x）是n次函数时，n＋ 1级差分是0。

我国古代历法工作者，为了制定一个好的历法，很早就应用内插法的公式. 朔、望跟制定历法和计算日、月食有密切关系。怎样确定合朔的准确时刻，一直是历法中一个重要的项目。根据一个朔望月的平均日数来确定会朔时刻，叫做”平朔”。

早在东汉时期，刘洪《乾象历》就使用了一次内插公式来计算月行度数。刘洪测出月球在一个近点月（月球从近地点出发绕地球运行一周又回到近地点的时间间隔）里每日运行的度数。设日数是n，n日共行的度数是f（n），对n＋s（s＜1）日月球运行的度数，刘洪应用下列一次内插公式f（n＋s）＝f（n）＋s△，进行计算，其中△是一级差分f（n＋1）－f（n）。刘洪以后，三国时期的杨伟，南北朝时期的何承天、祖冲之都是用这个公式计算月行度数的。因为月球运动速度一日之内就变化很大，f（n）不是一次函数，△2f（x）不等于0，因此上述公式只能得到不很精密的近似值。

中国隋唐时期，由于历法的需要，天算学家创立了二次函数的内插法，丰富了中国古代数学的内容。隋炀帝好大喜功，大兴土木，客观上促进了数学的发展。唐初王孝通的《缉古算经》，主要讨论土木工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题，反映了这个时期数学的情况。王孝通在不用数学符号的情况下，立出数字三次方程，不仅解决了当时社会的需要，也为后来天元术的建立打下基础。此外，对传统的勾股形解法，王孝通也是用数字三次方程解决的。

唐初封建统治者继承隋制，656年在国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，学生30人。由太史令李淳风等编纂注释《算经十书》，作为算学馆学生用的课本，明算科考试亦以这些算书为准。李淳风等编纂的《算经十书》，对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的。他们给《周髀算经》、《九章算术》以及《海岛算经》所作的注解，对读者是有帮助的。隋唐时期，由于历法的需要，天算学家创立了二次函数的内插法，丰富了中国古代数学的内容。

唐朝天文学家张遂(僧一行，公元673-727，图3)青年时代到长安，研究天文和数学，成为著名学者。他为修订历法， 测量日、月、星辰在其轨道上的位置并掌握其运动规律，他改进了张衡的”浑天仪”，制造出”浑天铜仪”。 他使用”浑天铜仪”和”黄道游仪”观测天象时可以直接测量出日、月、星辰在轨道上的坐标位置。他推断出天体上的恒星是移动的， 这比英国天文学家哈雷(公元1656-1742)早了一千多年。

张遂修订的《大衍历》是一部具有创新精神的历法， 他采用不等间距二次内插法推算出每两个节气之间，黄经差相同，而时间距却不同。这种算法基本符合天文实际， 这在天文学上是一个巨大的进步。《大衍历》比较准确地反映了太阳运行的规律，系统周密，表明中国古代历法体系的成熟。

到了宋元时代，便出现了高次内插法。最先获得一般高次内插公式的数学家是朱世杰(公元1300年前后)。朱世杰的代表著作有《算学启蒙》(1299年)和《四元玉鉴》(1303年)。《算学启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了日本与朝鲜数学的发展。《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最突出的数学创造有”招差术”(即高次内插法)，”垛积术”(高阶等差级数求和)以及”四元术”(多元高次联立方程组与消元解法)等。

元代天文学家王恂、郭守敬等在《授时历》中解决了三次函数的内插值问题．秦九韶在”缀术推星”题，朱世杰在《四元玉鉴》”如象招数”题都提到内插法(他们称为招差术)，朱世杰得到一个四次函数的内插公式．即现在所说的”高次内插法”，使这一问题得到解决，直到400年之后，大名鼎鼎的牛顿才得到同样的”牛顿插值公式”。我国的内插法是从天文学的需要中发展起来的，是在修改历法中逐渐完善的，它的应用比欧洲早一千年。

元朝天文学家、数学家郭守敬(1231-1316，图4)在授时历中对天文数据进行重新测定，他改革的天文计算方法可以归纳为两点， 一是全面用内插法三次差计算，即所谓”垛叠招差”。二是引进了球面直角三角形法，即所谓”立浑比量”。 如上图是郭守敬研制的天文观察仪器”简仪”。

《授时历》把冬至到春分（共88.91 日）这一象限分成六段，测出每段太阳的实际运行度数，就可以算出以段为等间距的差分表。从表中知道，三级差分都相等而四级差分等于0，因此考虑f(t)=d+at+bt2+ct2。实际上，f（0）＝0（第0段的运行度数是0），可见d＝0.所以　f(t)=at+bt2+ct3。这样就可以变三次函数为二次函数。

应用二次内插公式便可以算出F（t）的具体表达式，从而得到　f（t）＝tF（t）＝513.32t－2.46t2－0.0031t3。　令t＝0，1，2，3，按差分的定义便可以求出f（0），△1，△2，△3（△4＝0），继续按差分定义，用加减法就可以得出以日为等间距的差分表。郭守敬主持编定《授时历》，一年的周期与现行公历基本相同，但问世比现行公历早300年。

中国传统数学自元末以后落后的原因是多方面的。皇朝更迭的漫长的封建社会，在晚期表现出日趋严重的停滞性与腐朽性，数学发展缺乏社会动力和思想刺激。元代以后，科举考试制度中的《明算科》完全废除，唯以八股取士，数学社会地位低下，研究数学者没有出路，自由探讨受到束缚甚至遭禁锢。

我们可以预计到，关于函数的争论、研究、发展、拓广将不会完结，也正是这些影响着数学及其相邻学科的发展．