高三数学知识点-排列组合二项定理

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一、两个原理.

1. 乘法原理、加法原理.

2. 可以有重复元素的排列.

从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = mn.. 例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：mⁿ种）

二、排列.

1. ⑴对排列定义的理解.

定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

⑵相同排列.

如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.

⑶排列数.

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号An的m次方表示.

⑷排列数公式：

注意：n·n！=（n+1）！-n！ 规定0! = 1

规定

2. 含有可重元素的排列问题.

对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,……an其中限重复

数为n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于

例如：已知数字3、2、2，求其排列个数n=（1+2）！/1!2!=3又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数n=3！/3！=1

三、组合.

1. ⑴组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

⑵组合数公式：

⑶两个公式：

①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.

（或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有

一类是不含红球的选法有Cn的m次方）

②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有Cn的（m-1）次方，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有cn的m次方种，依分类原理有Cn的（m-1）次方+Cn的m次方=C（n+1）的m次方.

⑷排列与组合的联系与区别.

联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.

区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.

⑸①几个常用组合数公式

②常用的证明组合等式方法例.

i. 裂项求和法. 如：1/2！+2/3！+3/4！+…+n/（n+1）！=1-1/（n+1）！（利用（n-1）/n！=1/（n-1）！-1/n！）

ii. 导数法.

iii. 数学归纳法.

iv. 倒序求和法.

v. 递推法（即用Cn的m次方+Cn的m-1次方=C（n+1）的m次方递推）如：

vi. 构造二项式. 如：

证明：这里构造二项式（x+1）ⁿ（1+x）ⁿ=（1+x）²ⁿ其中xⁿ的系数，左边为

而右边为C₂n的n次方

四、排列、组合综合.

1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型：

①直接法. ②排除法.

③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某m（m≤n）个元素必相邻的排列有A（n-m+1）的（n-m+1）次方·Am的m次方个.其中A（n-m+1）的（n-m+1）次方是一个“整体排列”，而Am的m次方则是“局部排列”.

又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为An的平方-A（n-1）的1次方·A₂².

②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有A（n-1）的（n-1）次方·A₂².

③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有An的平方·A（n-1）的（n-1）次方.

注：①③区别在于①是确定的座位，有A₂²种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取的2个，有不确定性.

④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.

例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？A(n-m)的(n-m)次方（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤（n+1）/2时有意义.

⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.

⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有An的n次方种，m（m<n）个元素的全排列有Am的m次方种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有An的n次方/Am的m次方种排列方法.

例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？

解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m！；解法二：（比例分配法）An的n次方/Am的m次方.

⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有

例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有C4的平方/2！=3（平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？

注意：分组与插空综合. 例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有

，当n – m+1 ≥m, 即m≤（n+1）/2时有意义.

⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.

例如：x₁+x₂+x₃+x4的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为x₁，x₂，x₃，x4显然x₁+x₂+x₃+x4=12，故（x₁，x₂，x₃，x4）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解y₁，y₂，y₃，y4，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数c11的3次方

⑨定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有

例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？

固定在某一位置上：A（n-1）的（m-1）次方；不在某一位置上：An的m次方-A（n-1）的（m-1）次方或A（m-1）的1次方+A（m-1）的1次方乘A（n-1）的（m-1）次方（一类是不取出特殊元素a，有A（n-1）的m次方，一类是取特殊元素a，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）

⑩指定元素排列组合问题.

i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内 。先C后A策略，排列

；组合

ii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内。先C后A策略，排列

；组合

iii 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素。先C后A策略，排列

；组合

II. 排列组合常见解题策略：

①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；

⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.

2. 组合问题中分组问题和分配问题.

①均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为

（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组均匀分组应再除以

例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为

.若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为

②非均匀编号分组: n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为

例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：

种.

若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有

种

③均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为

例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为

④非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为

…

例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为

若从10人中选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为

五、二项式定理.

1. ⑴二项式定理：

展开式具有以下特点：

① 项数：共有n+1项；

② 系数：依次为组合数

③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.

⑵二项展开式的通项.

（a+b）ⁿ展开式中的第r+1项为：

⑶二项式系数的性质.

①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；

②二项展开式的中间项二项式系数最大.

I. 当n是偶数时，中间项是第n/2+1项，它的二项式系数

最大；

II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第（n+1）/2项和第（n+1）/2+1

项，它们的二项式系数

最大.

③系数和：

附：一般来说（ax+by）ⁿ（a，b为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解. 当|a|≠1或|b|≠1时，一般采用解不等式组

的系数或系数的绝对值）的办法来求解.

⑷如何来求（a+b+c）ⁿ展开式中含

的系数呢？其中p,q,r∈N且p+q+r=n把(a+b+c)ⁿ=[(a+b)+c]ⁿ视为二项式，先找出含有C的e次方的项

，另一方面在（a+b）的（n-r）次方中含有b的q次方的项为

，故在（a+b+c）ⁿ中含

的项为

.其系数为

2. 近似计算的处理方法.

当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式（1+a）ⁿ≈1+na，因为这时展开式的后面部分Cn²a²+Cn³a³+…+Cnⁿaⁿ很小，可以忽略不计。类似地，有（1-a）ⁿ≈1-na但使用这两个公式时应注意a的条件，以及对计算精确度的要求.