行列式的基本概念

行列式的定义和计算如果一组数用行和列形式列出来我们称之为矩阵。上面就是两行三列的矩阵。矩阵有很多应用,在线性代数中有具体的描述。代数方程可以用矩阵的形式表示。下列是三元一次方程组:若把它写成矩阵的形式即把系数放在矩阵中: 为了确定与此类矩阵

行列式的定义和计算

如果一组数用行和列形式列出来我们称之为矩阵。

行列式的基本概念

上面就是两行三列的矩阵。矩阵有很多应用,在线性代数中有具体的描述。

代数方程可以用矩阵的形式表示。下列是三元一次方程组:

行列式的基本概念

若把它写成矩阵的形式即把系数放在矩阵中:

行列式的基本概念

为了确定与此类矩阵相关的解的唯一性,需要求出行列式的值。 它在工程、经济、科学等领域有着广泛的应用。 这里我们将学习3阶以下的行列式基本知识。

行列式的基本概念

定义:每个n阶的方阵A,都可以关联一个叫做方阵A阶行列式的。

1阶行列式(1×1)

虑一个矩阵a = [a],那么这个矩阵的行列式等于a。

二阶行列式(2×2)

如果矩阵的阶是2,那么行列式定义为矩阵A,其中A是 如果矩阵的阶是2,那么行列式定义为矩阵A,其中A是

行列式的基本概念

类似地,我们可以求出3×3阶的行列式 。

三阶行列式(3×3)

假设给定一个3阶矩阵A:

行列式的基本概念

那么给出3×3矩阵的行列式的计算为:

|A| = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32– a11 a23 a32 – a12 a21 a33 – a13 a31 a22

其特点是主对角线的为正,副对角线的为负号。

行列式的基本概念

行列式的特性

现在让我们看一下行列式的基本性质:

性质1-行列式的行和列互换时,行列式的值保持不变。

性质2-如果行列式的任意两行(或两列)互换,则行列式的符号改变。

性质3-如果行列式的任意两行或两列相等或相同,则行列式的值为0。

性质4-如果一行或一列的每个元素都乘以一个常数k,那么原来得到的行列式的值就乘以k。

行列式的基本概念

利用行列式求三角形面积

我们已经知道,顶点为(x1, y1) (x2, y2)和(x3, y3)的三角形的面积是;

A = 1/2[x1(y2–y3) + x2(y3–y1) + x3(y1–y2)]

请参见如何利用顶点求三角形面积。

现在,我们可以把上面的表达式写成行列式的形式;

行列式的基本概念

行列式的基本概念

利用行列式解二元一次方程组

已知方程组:

行列式的基本概念

它用矩阵表达为AX=B,其系数的行列式为A:

行列式的基本概念

我们知道用消元法可得:

行列式的基本概念

将上述的结果用行列式表达为:

行列式的基本概念

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