高中概率统计专栏之三-二项分布

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从现在开始，正式进入三大概率分布的介绍，分别是二项分布、几何分布、正态分布。本篇先讲二项分布。二项分布的识别很重要，记住，符合以下特征的分布，就是二项分布：

1、每次事件都是独立的且可重复的
2、每次事件只有两种可能结果，比如：成功、失败
3、每次事件成功的概率P都一样。
4、每次试验的总数量n是固定的。

一个离散值集合X，符合二项分布，则记为：
其中，n为总数量，p为每次事件概率
一、二项分布概率计算

对于二项分布，总试验次数为n，那么成功r次的概率为：

再次强调，上面这个二项分布概率公式，表示的含义是：做某件事情n次，成功r次的概率。一定要明白这个含义，否则只记公式没有用，不明白这个公式的含义，遇到题目，经常会难以把知识点与题目关联上，也就会经常出现无从下手的感觉。公式里的P就是每次事件的概率，记住是一样且固定不变的。

现在抛开公式，我们仔细想一下，做某件事情n次，成功r次的概率，其实就是意味着成功了r次（每次概率为P），按照独立事件原理，同时成功r次，其概率就是r个P相乘。因为总次数n，成功了r次，意味着失败了(n-r)次，所以也要乘上失败的总概率，也就是(1-P)的(n-r)次方。那为什么还多了个排列组合系数呢？那是因为r次成功可以在n次试验的任何地方出现，而把r次成功分布在n次试验中共有个不同的方法（排列组合知识需要补充的，可在评论区里留言）。通过这样，大家对于二项分布概率公式，是不是更好理解，且更容易记忆啦？所以，公式不要单是死记硬背，一定要理解公式背后的含义及其逻辑推理，这样理解和记忆公式就更容易了，且不容易忘。更重要的是，通过这样理解后，遇到题目，能够快速容易把题目和知识点联系上，知道题目是在考你什么知识点，这样做题的把握性和信心就更足了。

注意，二项分布公式，是计算成功r次的概率，不是计算某个成功次数范围的概率，那如果我要计算某个成功次数范围的概率，比如说成功次数不小于5的概率，怎么算呢？这就要用到以下公式了：


上述公式都是利用总概率之和为1这个原则推导出来的。这样如果n数值小，则直接采用列举法计算，比如，假设n=5：

那如果n值比较大，列举的数量就会很多，计算很繁琐，有没有其他好办法呢？是有的，这个就留到后面介绍的正态分布来回答了，大家耐心等待一下：）。

二、二项分布期望值与方差

1、对于二项分布，其期望值为：

这个公式的含义是，表示某个事情发生n次，预期成功多少次。根据这个理解，很容易就明白到二项分布期望值的公式是什么了，不用死记硬背。

2、对于二项分布，其方差为：

标准差为：

其中q为失败的概率，

另外，上述公式也是可以根据 高中概率统计专栏之二-离散值分布概率 里的公式进行推导，令x=1或0（代表成功、失败）即可，有兴趣可自行进行推导。

三、例题

讲了那么多理论，我们拿个具体的例题来运用一下这些理论知识。
题目：

超市里，假设每个客户购买洗衣粉的概率是0.38，在8个客户中：

1、至少有7人购买洗衣粉的概率是多少？
2、3-5人购买洗衣粉的概率是多少？

解答：

首先识别，每个客户购买洗衣粉，都是独立事件，只有买、不买两种可能，且概率一样，目标客户人数固定，所以这是一个二项分布，记为：，得出这样的分析后，后面就是套公式计算了。

1、至少7人购买洗衣粉的概率，总数是8人，意味着是7、8人购买的概率之和，所以

2、3-5人购买洗衣粉的概率，就是3人购买的概率，减去5人购买的概率。