椭圆中的那几个神奇的定理

数学的学习中，我们不妨会遇到许多有趣的定理，你越是研究就越是发现它的神奇之处。最近看到一个有关于几何里椭圆的几个神奇的定理，研究不得不感叹，椭圆真有魅力。

首先我们说的是Marden定理（当然了，充其量知识科普一下）：设P（z）是一个复数域上的三次多项式，Z1，Z2，Z3是P（Z）的三个根，它们在复平面上不共线。那么，在这个复平面上存在唯一的椭圆，使得它与z1z2z3的各个边都相切，并且都切于各边的中点处。并且，这个椭圆的两个焦点是P’（z）的两根。

我们看到这个之后，你一定会被数学之美深深的打动。这个结论出现在Morris Marden于1945年发表的一篇论文里，因而被Dan Kalman称为Marden定理。Marden本人认为，这个结论最早是由Jorg Siebeck在1864年发现并证明的。下面我也只是说来简单的证明下这个结论。

椭圆的魅力之旅才刚刚开始。首先我们模拟一个场景：f(x)是域C上的多项式，f(z)=(z+2)(z-4)(z-6-6t)将多项式的三个根在复平面用点表示出来，并作出与三边中点相切的椭圆，即得到下图：
这时候如果将三个顶点与切点相连的话

这时候我们就可以看出三角形的重心与椭圆的中心重合了！而这只是开始，关于三角形重心有个定理，重心把中线分为1：2的两段，那么如果以G为位似中心，将椭圆放大两倍，又会发生什么呢？
天呐，竟然变成了三角形ABC的外接椭圆。这个椭圆的身份似乎不简单。我们再回到1826年的那一天，传说在这一天，有一个来自瑞士的几何大师见人们整天无精打采的，便提出了两个有趣的问题： 1：在三角形ABC无数个外接椭圆中，哪个椭圆的面积最小？2：在三角形ABC无数个内接椭圆中，哪个椭圆的面积最大？后人为了纪念这件事，将最小面积的外接椭圆命名为：外接Steiner椭圆，最大面积的内切椭圆命名为：内切Steiner椭圆。没错，上面的两个椭圆就是三角形ABC的外接Steiner椭圆和内切Steiner椭圆。

下面我不妨来来为大家形象地说说一个有趣的故事，椭圆中有无数个内接三角形，什么时候周长取得最大值呢？
直接上结论：当椭圆的内接三角形为光反射三角形时，三角形周长取得最大值。那么何为光反射三角形？其意就是一束光从B飞向A，在A点被椭圆挡住了，过点A作椭圆的切线，然后作出法线，这时候按光的反射定律，反射角等于入射角，同理光从A到C，再从C到B，按照同样的规律飞行，这样的话，椭圆、光、三角形就这样幸福美满的生活在一起了。

然后三角形怀孕了，生出了一个宝宝

根据生物的隔代遗传，这个宝宝和它的奶奶有着同样的眼睛，人们习惯叫它焦点
这就是我为大家讲的故事，关于椭圆的故事。所以说，椭圆的魅力真的很大。