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本文首发于知乎(https://zhuanlan.zhihu.com/p/)，对PageRank，这一重要的网络节点权重计算方法的思想、细节进行了简要介绍，并以其python实现为例进行具体展示。

1. 引言

PageRank是谷歌的镇店之宝，一种用来对网络中节点的重要性排序的算法。为什么叫“PageRank”呢？一方面这个算法最初是用来对网页重要性进行排序的，另一方面它是Sergey Brin和Lawrence Page提出的。这个名字一语双关，特别好。人们对PageRank进行个各种改动，基于相关算法在推荐、社社会网络分析、自然语言处理等领域推出了很多实用的解决方案，比如用于文本摘要的TextRank算法。PageRank算法是怎么来的呢？怎么计算？

2. 场景

我们在生活和生产活动中，经常遇到对网络中节点排序的任务。比如互联网中存在数以亿计的网页，哪些网页比较重要、值得投放医疗广告呢？学术论文在引用和被引用的过程中实现了知识的传递，那么哪些论文是学科发展的关键节点呢？一个由人构成的社会网络中，哪些是“大人物”呢？

我们可以把这些问题用图(graph)来表述一下。如图1-1，是一个有向图，包含了4个节点，以及4条边。边的起点是一个网页、论文或者人，终点指向的是起点所引用的网页、论文或者人。Node1节点引用node0节点，表示前者从后者获取信息、知识、权力或者财富。引用其他节点就是获益；反过来讲，被他人引用就是在传播福报。

问题来了，网络中哪个节点是传播力最强，也就是最重要的呢？

图1-1 一个简单的有向图

3. PageRank的思想

PageRank认为，一个节点对系统施加影响的结果，就是与它相连的节点也具有一定的影响力。假如图1-1是一个财富分发网络：Node1向其他节点传递财富，node1接收不能搞传播从node0得到的财富;等等。Node0的影响力，可以用与之相连的node1的影响力来度量。这个套路有点类似“通过看一个人的朋友来分析这个人”。

我们用符号来描述一下PageRank的想法。假设一个节点的影响力值是。Node0节点的影响力就是,类似的，node1的影响力就是。这是PageRank的第一个模块。

看起来很简单的样子，实际上给我们留了一个问题：各个节点的PR值计算是存在依赖的，得先计算出PR(node1)才能计算PR(node0)。也就是说，我们需要首先把所有未被引用的节点的PR值算出来(一般默认是1.0)；然后把以它们为源头、只和源头相连、距离为1的节点的PR值算出来；接着计算距离为2、只和已经具有PR值节点相连的，所有节点的PR值；直到所有的节点都有PR值为止。这个计算方法复杂度比较高，不实用。PageRank算法的第二个模块提供了一个复杂度较低的算法，用来较快地、近似的求出各个节点的PR。

4. 迭代算法及其冷启动

PageRank算法为所有的节点设置了一个初始得分(通常是1.0)，然后用前面所述的PR值计算公式更新所有节点的PR值，不断更新，直到PR值收敛。

我们再用符号来表示一下这个操作。用一个向量S来存储每个节点的PR值:

。

表示初始状态下，各个节点的PR值，下角标表示迭代的轮次；表示第0轮时，1号节点的PR值。假设各个节点的临接矩阵为，那么第一轮迭代的结果是:

第二轮迭代的结果是:

以此类推，我们可以执行这个迭代过程，直到PR值收敛。

一定收敛吗？可以看做一个概率转移矩阵，连续乘以它的结果肯定会收敛。这是可以证明的。

5. 孤立节点的处理

互联网这样的图里存在很多孤立节点，即不被其他节点引用的网页。PageRank增加了一个策略，就是为所有的节点设置一个最小得分，使得搜索用户有一定几率检索到这些网页。具体做法是为PR值的计算公式增加一个阻尼系数:

式中，d是一个取值范围为[0,1]的数，物理含义是搜索用户随机看到这个网页的概率，实际作用相当于对PR值做了一个平滑、把非孤立节点的PR值转移给孤立节点一些。

6. 穷人版PageRank算法的Python实现

#用于存储图 class Graph():     def __init__(self):         self.linked_node_map = {}#邻接表，         self.PR_map ={}#存储每个节点的入度     #添加节点     def add_node(self, node_id):         if node_id not in self.linked_node_map:             self.linked_node_map[node_id] = set({})             self.PR_map[node_id] = 0         else:             print("这个节点已经存在")     #增加一个从Node1指向node2的边。允许添加新节点     def add_link(self, node1, node2):         if node1 not in self.linked_node_map:             self.add_node(node1)         if node2 not in self.linked_node_map:             self.add_node(node2)         self.linked_node_map[node1].add(node2)#为node1添加一个邻接节点，表示ndoe2引用了node         #计算pr     def get_PR(self, epoch_num=10, d=0.5):#配置迭代轮数，以及阻尼系数         for i in range(epoch_num):             for node in self.PR_map:#遍历每一个节点                 self.PR_map[node] = (1-d) + d*sum([self.PR_map[temp_node] for temp_node in self.linked_node_map[node]])#原始版公式             print(self.PR_map)               edges = [[1,2], [3,2], [3,5], [1,3], [2,3], [3, 1], [5,1]]#模拟的一个网页链接网络       if __name__ == '__main__':     graph = Graph()     for edge in edges:         graph.add_link(edge[0], edge[1])     graph.get_PR() 

7. 结语

PageRank算法可以被看做一个框架，可以在这个基础上做一些变化，进而解决实际问题。

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