《白话高中数学》——对数函数的起源、运算、图像和性质

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

一、什么是对数？

“对数”，是一个让很多人感到莫名其妙的一个词。

没错，就是“莫-名-其-妙”，因为确实没搞不清楚“取对数”操作的妙处。

我们现在用一种简单计算的方式，来解释“取对数”到底是一种什么操作，这种操作之后得到的值又和指数什么关系！

我们知道：

2的平方是4，

2的三次方是8，

2的四次方是16

这里2是底数，2、3、4是指数。

现在我们把问题反过来问：

4是2的几次方？

8是2的几次方？

16是2的几次方？

这三个问题，大家都能很快地给出正确答案。

因为我们发现，这只需要把第一次的求幂的运算反过来算一次，求指数就行了。

对，就是逆运算。

好，如果我现在就告诉你，你刚才把幂运算反过来求指数的运算方式就是对“4，8，16”的“取对数”操作。

你还会对“对数”这个词感到莫名其妙吗？

那这种逆运算怎么表示呢？求幂的数学表达式有了，就是一个底数蹲在地上，右肩膀上扛着一个指数。

那么“取对数”的运算我们也必须给它一个表达式：

对，就是在蹲在地上的底数前面加一个“log”，把幂的值放在这个符号的后面就可以。

写成一般式就是这样：

也就是说，“取对数”的运算实际就是在已知底数和幂的值的情况之下，反过来求指数的运算。

用数学抽象一下，就是对数的定义，如下：

这里面的大N称为真数。

看到没？通过取对数运算求出来的指数就称为对数。

也就是说，指数和对数原本就是同一个值。只不过“指数”是泛指，可以不是确定的值；

但对数不同，它是一个确定的值，是通过确定的底数和确定的幂值，然后反运算得到的指数。

所以，还会感到莫名其妙吗？

从历史发展的角度来看，对数的出现是早于指数的，我们把这个名词翻译成“对数”，估计也是因为对特定的底数和幂，总有一个对应的指数值存在的意思。

好，既然幂运算是对数运算的逆运算，那就有：

二、对数的基本运算

既然搞清楚了对数是怎么来的，取对数怎么操作，剩下的就是研究对数的运算规则了。

我们首先给出对数的运算规则，然后逐一证明它的来历：

下面对上述公式逐一证明：

三：对数函数

如果把对数的真数当做一个变量，那么取对数的运算就变成了一个函数，称为对数函数

定义：

我们还是按照既定的规则研究这个对数函数：

1、定义域：规定了大于0的实数，没问题。现在我们要多问一句：为什么定义域是大于0的实数呢？

原因很简单，因为真数其实就是一个指数函数的值，它只能漂在x轴的上方，所以只能大于0喽。

2、值域：如果自变量不限制的话，值域为全体实数。

因为对真数进行取对数操作，本身就是求指数，指数本来就可以取全体实数。

3、解析式不用说了，就是定义中给的样子，但应该注意的是几种变式：

这都会引起函数自变量的取值变化，进而影响图像的变化。

4、对数函数的图像

如下图，因为底数a的取值不同，分两种情况，一个是大于0小于1的，一个是大于1的。

这里分别以下面四个不同底数的函数为例：

有图有真相，从而可知单调性：

单调性的严谨证明，可以根据单调性的定义，赋予两个不同的值，比较函数值来进行，具体的做法，在以前的文章中用过，这里略过。

奇偶性：对数函数是非奇非偶函数。

周期性：对数函数不是周期函数，不具有周期性

对称性：对数函数不是对称函数；但底数互为倒数的对数，图像关于x轴对称。

对照指数函数，在指数函数中，底数互为倒数的指数函数图像关于y轴对称。

因为指数函数和对数函数互为逆运算，所以，对数函数是指数函数的反函数，同一底数的二种函数的图像，关于y=x直线对称。

相关反函数的概念，另文讲解，此处略过。

5、对数函数中有几个特定的常用函数是很有意思的：

幂、指数、对数之间的综合运算，相当繁杂，而且具有很强的技巧性，也是我们考试中最常见的题目，我们会在以后的文章专门拿出来介绍。