高中数学学习（17）——对数与对数函数

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对数对于高一生来说是个全新的东西，所以很多高一生第一次栽跟头、听不懂都是在这里。

1，何为对数？

一般的，如果

那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做底数，N叫做真数。

也就是说，我们可以把新接触到的对数转化成我们熟悉的指数来看。

比如

意思就是2的多少次幂等于8，那么大家都知道了，2的3次幂等于8，所以它的值就是3。

2，两种特殊的对数。

（1） 以10为底的对数记作lgN；

（2） 以无理数e为底的对数记作lnN，其中e=2.71828……。

3，对数的运算：

（1）因为对数函数与指数函数是反函数关系，所以他们的运算正好相反，指数是外积变内和，对数是外和变内积。

（2）对数函数的底数的次数和真数的次数都是可以前提的。

真数的次数是多少，提到前面就是多少；底数的次数是多少，提到前面就是多少分之一。

（3）对数不仅能算加减法，还能算乘除法。

比如：

也就是说，对数的底数和真数可以看做分数的分子和分母，它们彼此之间是可以约分的。

但是特别注意，对数的底数和真数的约分又不完全像分数的分子和分母的约分，只有当底数和真数完全相同时才能约分，有公约数时不能约分。

为什么可以约分呢？

得益于对数最重要的公式，也是考试考的最多的公式，换底公式：

也就是说，一个对数我可以拆成两个同底数对数相除得形式，这个底数可以取规定范围内的任意数，原真数成为新底数的真数成为分子，原底数成为新底数的真数成为分母。

（4）既然对数的底数和真数可以看成转化成分数的分母和分子，那么对数的倒数就是把底数和真数互换位置：

（5）指数和对数是一组反运算，就如加减、乘除都是反运算一样，遇到了是可以相互抵消的：

以上就是对数的运算，花样很多，考查灵活运用。

举个常考的题型：

如果lg2=a，lg3=b，用a,b表示

例1

这道题既然给的已知条件都是以10为底的对数，那么我们第一步先把让我们表示的对数化为10为底对数，即为lg48/lg60；

然后，对数运算是外和变内积，我们用已知的2、3还有底数提供的10以相乘的方式计算出48和60来，即为lg（3*2*2*2*2）/lg（2*3*10）；

之后，按照运算法则拆开，即为（lg3+4lg2）/（lg2+lg3+lg10）；

最后，换为a,b即可。

所以这道题的答案是（b+4a）/（a+b+1）。

4，何为对数函数？

形如f（x）=logax（a>0且a≠1，x>0）的函数称为对数函数。

与幂函数、指数函数一样，只有a可以换为取值范围内的数后仍叫对数函数，其他任何改变后都不再叫对数函数，而叫类对数函数。

指数函数和对数函数是反函数关系，他们的底数a是同一个a，因此对数函数的a的取值范围与指数函数的a的取值范围是一样的。

对数函数的x就是指数函数的y，一个正数无论多少次幂都一定是正数，因此对数函数的定义域为（0，+∞）。

5，对数函数的图像与性质：

对数函数和指数函数一样，由a关于1的大小分为两种情况，当a>1时为增函数，当0<a<1时为减函数，无论增减函数，定义域都是（0，+∞），值域都是R，且都恒过点（1,0）。

6，对数函数比较大小题：

对数函数比较大小题是常考题型，举几种常用方法：

（1） 若两个对数底数相同，则根据单调性比较大小；

（2） 若两个对数真数相同，则利用图像法比较或取倒数比较；

（3） 当底数为真数的一个因数且真数的因数中除底数外都相同时，可以转化为同真数比较大小；

例如：比较

的大小，我们就可以把他们分别转化为

来比较；

（4）若两个对数的底数和真数都不相同，我们需要借助中间值来比较大小，中间值一般为0、1或-1。

记住以下规律：对于对数函数C=logaB，

当a>1,B>1时，C>0；

当0<a<1，0<B<1时，C>0；

当a>1,0<B<1时，C<0；

当0<a<1，B>1时，C<0。

也就是说，底数与真数关于1的大小若一致，则该对数>0；底数与真数关于1的大小若不一致，则该对数<0。

当a>1,B>1且a>B时，0<C<1；

当a>1,B>1且a<B时，C>1；

当0<a<1，0<B<1且a>B时，C>1；

当0<a<1，0<B<1且a<B时，0<C<1。

（5） 在坐标系中画出对数函数图像，找到每个数的相应位置比较大小；

（6） 作差或作商比较大小。

7，解对数函数不等式：

（1） 先利用对数函数运算性质将不等号两边转化为同底的对数，再利用对数函数的单调性去掉同底，如果底数>1，则去掉同底后，不等式不变号；如果底数在0~1之间，则去掉同底后，不等号调向；

（2）对于一些含有对数式的不等式，先变形成不等号两边分别对应一个性质函数的形式，然后在同一个坐标系中作出这两个函数的图像，通过比较当x在某一范围内取值时图像的上下位置来确定参数的取值或者解的情况。

以上就是对数函数的全部内容了。

幂函数、指数函数、对数函数的基础知识我们就讲到这里了，它们将在后面导数知识点中回归。

下节课我们讲几道函数应用的经典例题。

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