图算法-最小生成树

图算法-最小生成树一 定义 Minimum Cost Spanning Tree 简称 MST 给定一个带权的无向连通图 如何选取一棵生成树 使树上所有边上权的总和为最小 这叫最小生成树 1 克鲁斯卡尔 Kruskal 算法 是用来求加权连通图的最小生成树的

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图算法-最小生成树

一、定义

(Minimum Cost Spanning Tree),简称 MST。给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树

图算法-最小生成树

1、克鲁斯卡尔(Kruskal)算法,是用来求加权连通图的最小生成树的算法。

克鲁斯卡尔算法是求连通网的最小生成树的另一种方法。与普里姆算法不同,它的时间复杂度为O(eloge)(e为边数),适合于求边稀疏的网的最小生成树 。克鲁斯卡尔算法从另一途径求网的最小生成树。其基本思想是:假设连通网G,令最小生成树的初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T,概述图中每个顶点自成一个连通分量。在E中选择代价最小的边,若该边依附的顶点分别在T中不同的连通分量上,则将此边加入到T中;否则,舍去此边而选择下一条代价最小的边。说白了,优先先选出全体边里最短的那几条,然后如果各分量还没连起来,就继续选择剩余没被选择的边里最短的,直到全部节点都连接在一起。

原文链接:https://blog.csdn.net/_/article/details/

它的时间复杂度为O(eloge)e为边数)

方法:

1、集合是一个森林,每个顶点都是一棵树,都是一个强连通量

2、所有的边进行排序,选择权重最小的边

3、针对边的两个顶点判断是否属于一个联通量,不属于进行合并,合并成一个联通量,此边是寻找的边

4、循环所有的边

思路

1、有n个小联通分量(顶点)其实就是用不同标记区分不同的集合(连通分量)

2、选择权重最小边的两个顶点,然后针对不同的联通分量进行合并

比如顶点a的联通量是他自己也可以用其他的代替,用自己区分其他很简单

a与顶点b合并之后,联通量都变成b

c与d合并之后联通量都转换为d

ac合并都转换成d

代码

这里一定要理解好Vexset数组的作用和意义。如果这个理解不好,就像prim算法不理解close数组一样,核心算法就理解不了了。

Vexset是以下标i表示节点,以数组的值表示该点的连通量。

如:Vexset[1] = 0,Vexset[0] = 0.表示B节点和A节点是同一个连通量(B的下标为1,A的下标为0)。

图算法-最小生成树

代码执行过程:

1、初始化边集合:把图里全部边加入边集合(集合里边的数量就是图里边的数量)。

2、初始化辅助数组Vexset:每个节点自己属于一个连通量(毕竟刚开始谁都没连接谁是吧)。

3、将边集合按照边权值从小到大排序,让循环操作从小边到大边的顺序进行选择。

4、循环获取每一条边的起点和终点。

5、如果起点和终点不是同一个连通分量,就把两个点连起来(合并连通量)。

6、全部点同属一个连通分量,循环结束。

2、prim(普里姆算法)算法

整体思想是,创建一棵树,找到一个安全边加入此树

方法

1、树是一个集合、顶点是一个集合

2、选择一个顶点根节点放到树里面,顶点集合删除此顶点

两个顶点不在一个集合肯定构不成环

3、寻找树所有的顶点所对应的边并进行权重排序

4、找到在集合顶点中的权重最小的边

5、树中加入此顶点,在集合中删除此顶点

4、3-5依次执行然后依次递归

这样操作树的权重永远最小,且不会形成回路(因为另外一个顶点不在此树里面)

借住了贪心算法思想

实例

图算法-最小生成树

  1. 某城市新增 7 个站点(A, B, C, D, E, F, G) ,现在需要修路把 7 个站点连通
  2. 各个站点的距离用边线表示(权) ,比如 A – B 距离 12 公里
  3. 问:如何修路保证各个站点都能连通,并且总的修建公路总里程最短?

性质:

1、连通图

1、满足所有的顶点,并且连接无环

2、每条边有权重(比如边的长短)

注意:所谓最小,指的是权重之和最小

几个感念

连通分量

针对图最小生成树的几种算法

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