高中概率统计专栏之五-正态分布

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终于讲到正态分布了，在此特别说明一下，本头条关于数学知识的讲解，重点是在于让大家明白数学知识背后的含义，因为只有深刻理解了其背后的含义，才能知其所以然，不然就很容易似懂非懂，遇到变形生疏的题目，难以跟所学知识点关联上，也就不知道从何下手了。

一、正态分布数学表达

我们之前讲述的二项分布、几何分布，都是限定离散值数总数n的，也就是限定了试验的总次数。而正态分布，恰恰相反，是不限定总试验次数的，所以其n是可以无穷大的。凡是一个变量x，符合以下函数关系，称为x符合正态分布，记为：

上述函数经过标准化后，称为标准标准正态分布，记为，其函数形式为：

正态分布分布的曲线图为：

标准正态分布图

注意：
1、正态分布图的y坐标值，表示的是概率密度，而不是概率，而正态分布曲线下的阴影面积，是x取值-1至1之间范围的总概率。很多人都误以为正态分布图的y值就是x值对应的概率值，这是错误的。
2、正态分布的均值（也就是值）的概率密度是最大的，以均值为中心，左右两边的概率密度是对称的，因此，正态分布的均值、中位数都是一样的。
3、由于正态分布函数，是关于概率密度的函数，所以求某个x值对应概率是没有意义的，只有求某个x值范围的概率。其实某个x值范围的概率，就是f(x)对某个x值范围进行求定积分。

二、正态分布标准转换

标准正态分布，其概率分布表如下：

这里一定要注意，这个表的某个x值对应的概率，其实际含义是x值小于等于该值的范围的累计概率，千万别理解为，x值对应的概率。如上表中，x=1.0的概率值是0.8413，其含义是x<=1的范围的累计概率值，也就是图中红色阴影部分的面积。记为公式的话，就是：

对于非标准正态分布，可通过以下公式进行标准转换（也叫Z转换）后查表得出相应的概率值。
，所以

对于非标准正态分布概率计算，上述公式要明白，并能快速的把求某个x值范围的概率，转化为求某个z值范围的概率，这样就能通过查标准正态分布概率表获得对应的概率值。

三、正态分布概率计算关系公式

关于正态分布概率计算，根据正态分布的左右对称性，结合，可推导出以下关系公式：

四、二项分布与正态分布

在 高中概率统计专栏之三-二项分布 文章里提过，当n值较大时，求大于某个x值范围的概率，会出现需列举计算很多个x值概率的问题，其实对于n值较大，二项分布就是无限近似于正态分布，可以采用正态分布概率计算公式来计算二项分布的范围概率的，其满足条件是：

也就是说，当二项分布的n值足够大，使上述公式成立时，即可使用正态分布概率公式计算二项分布的范围概率。其计算公式如下：

当 ，且

这里要注意，计算Z值的公式里的x的取值，需要在a的基础上+-0.5，具体是+还是-，是根据计算的概率是否包含a值来决定的，如果包含a值，那么取a+0.5，如果不包含a值，则取a-0.5。根据正态分布对称特征，容易推导出：

当P(x<a)或P(x>=a)，不含a的概率，则计算Z值时，x取a-0.5

当P(x>a)或P(x<=a)，含a的概率，则计算Z值时，x取a+0.5

这样通过上述公式计算出Z值，再查标准正态分布概率表，即可获得对应的概率值。

五、对立面思维

在计算二项分布、几何分布、正态分布概率时，我们一定要利用好对立面思维，来找到更快捷的途径来计算概率。因为这几项概率分布，都遵守总概率等于1的原则，所以我们要求某个条件的概率，如果计算复杂，可以考虑从这个条件的对立面去计算概率，根据总数为1的原则，正面计算复杂，那就意味着反面计算简单。举例：

正态分布下，要求，其对立面就是，所以可以通过，求得的概率值。

二项分布下，n=15，求P(x>3)，其对立面就是P(x<4)，其实就是求。

大家在面对概率题目时，有时候多使用这种对立面思维，解题立马简单了。