初中几何（3）圆心角与圆周角

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首先我们复习一下什么是角，通常角有两种定义：

1. 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。
2. 一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

角有两个核心要素：顶点和边，边有两条，且是射线。一条是始边，一条是终边。

零角：零角的始边和终边重合，方向相同，角度等于0°。但始边和终边重合的角并不都是零角，例如360度（2π弧度），-360度（-2π弧度）。

平角：始边和终边在同一条直线上，方向相反。角度等于180°（π弧度）

直角：《几何原本》中的定义是：当一条直线和另一条横的直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个被叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。

直线a和直线b相交构成的两个邻角∠α=∠β时，∠α和∠β都是直角，且a ⟂ b。

注意：270°角不是直角。

直角是最重要的几何图形之一，但凡涉及到垂直、勾股定理、一条边是直径的圆内接三角形等等都对应到直角，在多几何题中往往找到了直角就能迎刃而解了。

比较两个角的大小，是不能通过测量角度的方式来比较，因为无论使用什么样的仪器来测量角度进行比较都不是正确的方式，这是数学的基本思想。

通常比较两个角大小的方法是：

移动∠FDE，使得D点与∠CAB的顶点A重合，并且DE与AB在一直线上（重合），
如果∠FDE的DF与∠CAB的AC重合，则∠CAB = ∠FDE；
如果DF在∠CAB内部，则∠FDE < ∠CAB；
如果DF在∠CAB外部，则∠FDE > ∠CAB。

注意：上的比较必须保证边AC和边DF都是要在重合边AB和DE同侧。

圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

圆心角定理：

1. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
2. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对应的圆心角相等。

以上两个是互逆的。

圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦和所对弦的弦心距相等，四者有一个相等，则其他三个都相等。

证明：在同圆或等圆中，等弧对应的圆心角相等。

这里使用圆的旋转不变形来证明。

旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合。

如果弧FF’= 弧GG’,可以将弧FF’以圆心E旋转，由于圆是旋转对称图形，F会与G重合，F’会与G’重合，根据前面角大小比较方法，可得∠FEF’= ∠GEG’，则可证等弧对应的圆心角相等。

以上方法同样可以证明等弧对等弦，等弦对等弦心距。

圆周角定理：

1. 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
2. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对应的圆周角相等。
3. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对应的圆心角是同弧或等弧的圆周角的2倍。

同样1和2是互逆的。

这里证明第3个定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对应的圆心角是同弧或等弧的圆周角的2倍

如上图，B，C，D为圆A上的三个点，证明∠2 = 2∠1。证明如下：

连接AD，A为圆心，AC=AB=AD，根据等腰三角形性质：

∠7=∠3，∠4=∠6+∠7，∠5=∠1+∠3

∵ ∠1+∠4+∠5+∠6=180°

且 ∠5=∠7+∠1

∴ 2∠1+∠4+∠6+∠7=180°

∵ ∠2+∠4+∠6+∠7=180°

∴ 2∠1 = ∠2

证明完毕