回溯算法总结（java）

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回溯算法

• 回溯法按深度优先策略搜索问题的解空间树。首先从根节点出发搜索解空间树，当算法搜索至解空间树的某一节点时，先利用剪枝函数判断该节点是否可行（即能得到问题的解）。如果不可行，则跳过对该节点为根的子树的搜索，逐层向其祖先节点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。
• 回溯法的基本行为是搜索，搜索过程使用剪枝函数来为了避免无效的搜索。剪枝函数包括两类：1. 使用约束函数，剪去不满足约束条件的路径；2.使用限界函数，剪去不能得到最优解的路径。
• 回溯算法说白了就是穷举法。不过回溯算法使用剪枝函数，剪去一些不可能到达 最终状态（即答案状态）的节点，从而减少状态空间树节点的生成，提高了效率。
• 回溯算法一般都采用递归实现。回溯利用递归的性质，从问题的起始点出发，不断地进行尝试，回头一步甚至多步再做选择，直到最终抵达终点。

回溯解题模板

function backtrack(n, used) { 
   
    // 判断输入或者状态是否非法
    if (input/state is invalid) { 
   
        return;
  	}
    // 判读递归是否应当结束，满足结束条件就返回结果
    if (match condition) { 
   
        return some value;
  	}
    // 遍历当前所有可能出现的情况，并尝试每一种情况
    for (all possible cases) { 
   
        // 如果上一步尝试会影响下一步尝试，需要写入状态
        used.push(case)
        // 递归进行下一步尝试，搜索该子树
        result = backtrack(n + 1, used)
        // 在这种情况下已经尝试完毕，重置状态，以便于下面的回溯尝试
        used.pop(case)
    } 
}

经典问题

leetcode17. 电话号码的字母组合

class Solution { 
   
    private List<String> res = new ArrayList<>();
    private final String[] letterMap = new String[]{ 
   "", "", "abc", "def", "ghi", "jkl", "mno", "pqrs", "tuv", "wxyz"};

    public List<String> letterCombinations(String digits) { 
   
        if (digits.length() == 0) { 
   
            return res;
        }
        findCombination(digits, 0, "");
        return res;
    }

    private void findCombination(String digits, int index, String s){ 
   

        if(index == digits.length()){ 
   
            res.add(s);
            return;
        }

        Character c = digits.charAt(index);
        String letters = letterMap[c - '0'];
        for(int i = 0 ; i < letters.length() ; i ++){ 
   
            findCombination(digits, index+1, s + letters.charAt(i));
        }
        return;
    }
}

leetcode46. 全排列

public class Solution { 
   

    private List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) { 
   
        if (nums.length == 0) { 
   
            return res;
        }
        boolean[] used = new boolean[nums.length];
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        backtrack(nums, 0, list, used);
        return res;
    }

    public void backtrack(int[] nums, int index, List<Integer> list, boolean[] used) { 
   
        if (index == nums.length) { 
   
            res.add(new ArrayList<>(list));
            return;
        }

        for (int i = 0; i < nums.length; i++) { 
   
            if (!used[i]) { 
   
                list.add(nums[i]);
                used[i] = true;
                backtrack(nums, index + 1, list, used);
                list.remove(list.size() - 1);
                used[i] = false;
            }
        }
    }
}

leetcode51. N皇后

class Solution { 
   
    public List<List<String>> res = new ArrayList<>();

    public List<List<String>> solveNQueens(int n) { 
   
        int[] cols = new int[n];
        for (int i=0; i<n; i++) { 
   
            cols[i] = -1;
        }
        backtrack(0, n, cols);
        return res;
    }

    public void  backtrack(int index, int n, int[] cols) { 
   
        if (index == n) { 
   
            res.add(locToList(cols));
            return;
        }

        for (int i=0; i<n; i++) { 
   
            cols[index] = i;
            if (isSafe(cols, index)) { 
   
                backtrack(index+1, n, cols);
            }
            cols[index] = -1;
        }
    }

    public boolean isSafe(int[] cols, int index) { 
   
        for (int i=0; i<index; i++) { 
   
            if (cols[i] == cols[index] || i+cols[i] == index+cols[index] || i-cols[i] == index-cols[index]) { 
   
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    public List<String> locToList(int[] cols) { 
   
        ArrayList<String> list = new ArrayList<>();
        for (int i=0; i<cols.length; i++) { 
   
            StringBuilder sb = new StringBuilder();
            for (int j=0; j<cols[i]; j++){ 
   
                sb.append(".");
            }
            sb.append("Q");
            for (int j=cols[i]+1; j<cols.length; j++){ 
   
                sb.append(".");
            }
            list.add(sb.toString());
        }
        return list;
    }
}

其他

递归与迭代

• 计算机解决问题其实没有任何奇技淫巧，它唯一的解决办法就是穷举，穷举所有可能性。算法设计无非就是先思考“如何穷举”，然后再追求“如何聪明地穷举”。其中穷举的代码形式上有两种：递归和迭代
• 重复调用函数自身实现循环称为递归。递归是用栈机制实现的，每深入一层，都要占去一块栈数据区域，所以有可能导致堆栈溢出的错误。思想简单，代码简洁，将问题交给计算机
• 利用变量的原值推出新值称为迭代，或着说迭代是函数内某段代码实现循环。由于递归容易导致堆栈溢出，并且递归比迭代效率要低，所以尽量使用迭代
• 递归是一个树结构，迭代是一个环结构

递归与递推

• 递归是自顶向下（对应函数入栈），又自底向上（对应函数出栈）。可以在自顶向下的时候进行操作，也可以在自底向上的时候进行操作。
• 递推是自底向上

两种实现形式

• 状态记录回溯
• 交换回溯