小波变换学习笔记（1）：小波变换的背景与体系

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前言
大二因学院的本科生导师制与小波变换结缘，紧接着大创也阴差阳错地选择了与小波相关的课题，所以说我接触小波变换也是有一段时间了。但是比较惭愧，一开始的小波学习并不顺利，我尝试过在B站上看视频，看小波变换的书，查阅小波相关博客等诸多方法，但可能是由于我是学工科的缘故，更注重实际上的应用，对于那种晦涩难懂的数学公式和理论实在是提不起来兴趣，也看不太懂，故学习效果也不理想，直到最近，接触小波将近一年，陆陆续续地读了一些国外的资料（尤其是《THE WAVELET TUTORIAL》这本书，文中许多理论和图也是引用自这本书，时间充裕的同学可以直接看这本书，资源我也会发出来），也静下心来重新看了下之前的书，这才总算是有了一点自己的理解，所以想把它记录下来，也算是对自己知识的一个巩固，如果大家可以从中收获些什么的话，那就再好不过了。最后我想说，本文更注重小波的工程应用方面，即小波的概念、物理意义之类的，数学公式、定理的推理并不是本文的重点，只有必要、关键的公式我会陈列出来，另外一些理论细节我也是不太清楚，如果大家有什么不同意见欢迎在评论区与我交流。
为什么要进行变换？
众所周知，变换有好多种，比较流行的有傅里叶变换、小波变换、希尔伯特变换，但是无论是哪种变换，它变换的目的都是为了更清楚、更简洁地表示信号，从而方便后续对信号的分析。话不多说，直接上例子！

上图是一个信号的时域表示，如果我让你在一分钟之内记住它的波形然后画出来，我相信大多数人都无法完成，因为这个信号的时域表示实在是有点杂乱复杂，难以记忆，但是如果我们把它做傅里叶变换，那我们再来看

显然，在傅里叶变换域，也就是频域，这个信号的表示就简洁的多，它就是四个固定频率10hz、25hz、50hz、100hz的正弦波的叠加。说到这里大家就应该明白我之前说的“变换的目的是为了更清楚更简洁地表示信号”这句话了，通过变换，我们把一个在时域如此复杂的信号转化成为了一个如此简洁的信号，而这在之后的信号分析处理中是有重大意义的，所以我们不得不佩服老科学家们的奇思妙想。
傅里叶变换的缺点？
那么有人会说，“既然傅里叶变换已经这么好用了，那为什么还要创立小波变换呢？”。这是因为，傅里叶变换也有它的缺陷，话不多说，上例子！

上图是一个信号的时域表示，这个信号是一个正弦波，只不过它的频率是分阶段变化的，0到300是100hz、300到600是50hz、600到800是25hz、800到1000是10hz，那么它的傅里叶变换是什么样的呢？

我们可以看到，与第一个信号的傅里叶变换相似，这个信号的傅里叶变换也是在10、25、50、100hz这四个地方都出现了峰值，如果我们套用之前的思想，在忽略一些特别小的频率信息的前提下，认为这个信号基本是由四个频率的正弦波叠加得到的，也就是说这四种频率的正弦波是在时域一直出现的，而这显然与我们一开始的认知不同，在时域，各种频率的正弦波在这个信号中明明是分阶段出现的，在一个时间段是A频率出现，而在另一个时间段又是B频率出现了，换句话说，在傅里叶变换的过程中，我们完全丢失了信号的时域信息，而这也就是傅里叶变换最大的缺点，下面我们结合傅里叶变换的公式展开说明。

从第二个式子中我们可以看到，某一频率下的频域值是由原时域信号与e的-jwt次方相乘在正无穷到负无穷上积分，所以说，它计算出的值反映的是一个在全程出现的某频率的正弦波在原信号中占的比重（比重这里可能有些不妥，或者也可以称为参与构建原信号的程度）。而对于第一个信号来说，因为它本就是由四种频率的全程出现的正弦波叠加而得，所以对于它做傅里叶变换就十分适合，其变换结果中哪个幅值高，我们就知道在时域中出现了哪个频率的全程出现的正弦波。可是对于第二个信号，它的频率组成是变化的，每种频率不是在全程出现的，但是又由于傅里叶变换公式是不变，它分析的就是全程出现的频率信息，所以对第二个信号做傅里叶变换就不合适。
小波变换体系
好了，终于讲完了傅里叶变换的缺点，由于我能力实在有限，如果大家没看懂可以参考下别人博客里的讲解。由于傅里叶变换的缺点，许多时-频域结合的变换方法应运而生，比如短时傅里叶变换、小波变换等等，下面我主要介绍的就是小波变换。就像上面说的，小波变换是一种时-频域变换方法，也就是说变换之后，我们不光可以知道原信号中有哪些频率出现，还能知道这些频率分量出现的时刻，这样的话当出现上述第二种信号的时候，我们也可以准确的分析它。
首先，说下小波变换的知识体系，小波变换分为对连续信号做小波变换、对离散信号做小波变换，而对连续信号做小波变换又分为做连续小波变换和离散小波变换，接下来我将用几篇博客，来把我对上面几部分的理解分享给大家，不过我也不敢确保我的理解是正确的，大家做个参考就好，有什么错误欢迎指出。