你知道连续函数在开区间上的最值定理吗?注意,是开区间上的

你知道连续函数在开区间上的最值定理吗?注意,是开区间上的头条创作挑战赛 一说到最值定理 你肯定会想到连续函数在闭区间上的最值定理 即连续函数在闭区间上既有最大值 也有最小值 这在 老黄学高数 系列视频第 227 讲中已经做过证明 那么你知道吗 其实连续函数在开区间上也是有最值定理的

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#头条创作挑战赛#

一说到最值定理,你肯定会想到连续函数在闭区间上的最值定理,即连续函数在闭区间上既有最大值,也有最小值。这在《老黄学高数》系列视频第227讲中已经做过证明。那么你知道吗?其实连续函数在开区间上也是有最值定理的。只是这个定理增加了一个附加的条件:两个端点的单侧极限都等于0.

你知道连续函数在开区间上的最值定理吗?注意,是开区间上的

设f在(a,b)内连续,且lim(x→a+)f(x)=lim(x→b- )f(x)=0. 证明:f在(a,b)内有最大值或最小值.

证:若f(x)≡0, x∈(a,b),则结论成立.【若函数恒等于0,结论当然成立,此时最大值和最小值都是0】

若存在x∈(a,b),使f(x)≠0, 补充定义f(a)=f(b)=0,【若函数不恒等于0,则补充定义两个端点的函数都为0,补充定义定义域端点的函数值,是高数最常用的解题方法之一。注意,这里一定要定义端点的函数值都等于0,因为两个端点的单侧极限都是0,这样才能保证左端点右连续,而右端点左连续,保持函数在新的定义域上连续】

则f(x)在[a,b]上连续, ∴f在[a,b]可取得最大值与最小值.【补充定义后,定义域就变成一个闭区间,由连续函数在闭区间上的最值定理就可以知道,函数在这个闭区间上有最大值和最小值】

若存在一点x0∈(a,b),使得f(x0)>0,则f能在(a,b)上取得最大值,【又函数不恒等于0,所以如果存在函数大于0的点,那么,在这些大于0的点中,就必存在函数的最大值,否则最大值仍是0】

若f(x0)<0,则f能在(a,b)上取得最小值.【同理,如果存在函数小于0的点,那么在这些小于0的点中,就必存在函数的最小值,否则最小值仍是0】

想要学好高数,一方面要懂得把知识点转化成自己的内在知识,另一方面要懂得将知识点拓展开来,得到新的知识点。而后者更是现实前者的重要手段。

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