最古老的一种算法揭秘：辗转相除法为何能准确求出最大公约数？

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探索辗转相除法的奇妙世界

辗转相除法得名于其运算过程，源自古希腊数学家欧几里得的著作《几何原本》，故也称欧几里得算法(Euclidean algorithm)。这一算法表述于《原本》的第七卷中，并用于多个后续命题中。

欧几里得算法是最早被系统地记录并流传下来的算法之一，用于计算两个非负整数的最大公约数（GCD）。这种算法不仅展示了欧几里得对数学逻辑深刻的理解，而且也是最早的算法之一，对算术和数论产生了深远的影响。

理解算法前的基础概念

在数学除法中，余数和商是两个最重要概念。当我们将一个数（被除数）除以另一个数（除数）时，得到的结果通常包含商和可能的余数。

• 被除数（Dividend）: a
• 除数（Divisor）: b
• 商（Quotient）: q
• 余数（Remainder）: r

数学表达式可以写作：a = b × q + r，其中 q 为整数， b 为非零整数，且 0 ≤ r < b。

辗转相除法的算法原理

辗转相除法的基本原理是：两个整数的最大公约数不变，当较大数减去较小数后，得到的差值与较小数的最大公约数相同。以下是算法的步骤：

1. 设两个正整数 a 和 b ，且 a > b 。
2. 用 a 除以 b ，得到余数 r (0 < r < b) 。
3. 如果 r 为 0 ，则 b 即为两数的最大公约数。
4. 如果 r ≠ 0 ，则令 a = b ， b = r ，并返回第二步。

这个过程将不断重亘，每次都会产生一个更小的正整数，直到余数为 0 ，此时的 b 就是最大公约数。

算法示例

通过一个例子来说明这一算法：如何找到 252 和 198 的最大公约数。

1. 252 = 1 × 198 + 54
2. 198 = 3 × 54 + 36
3. 54 = 1 × 36 + 18
4. 36 = 2 × 18 + 0

因此， 252 和 198 的最大公约数是 18 。

探究辗转相除法的证明

证明步骤拆解

为了理解辗转相除法为什么有效，我们可以对其进行证明。假设有两个正整数 a 和 b,且 a > b ， a = q b + r 。它们的最大公约数 d₀ 。设定 d₀ = (a, b) 和 d₁ = (r, b) ，我们的目标是证明 d₀ = d₁ 。

证明 d₀ 整除 r :

由于 r = a – q b ，任何同时整除 a 和 b 的数也一定整除 r 。

假设有一个整数 c ，并且这个整数同时整除 a 和 b 。根据整除性的定义，我们可以说 a = c ⋅ m, b = c ⋅ n 其中 m 和 n 都是整数。即： r = c ⋅ (m – q ⋅ n)

因此，由于 d₀ 是 a 和 b 的最大公约数，它也必然整除 r 。这意味着 d₀ 是 r 和 b 的公约数之一。

证明 d₀ ≤ d₁ :

由于 d₀ 是 r 和 b 的公约数，而 d₁ 是 r 和 b 的最大公约数，显然 d₀ 小于等于 d₁ 。

证明 d₁ 整除 a :

同样地，任何整除 r 和 b 的数也必然整除 a （这是因为 a = q b + r ，所以 a 可以表示为 r 和 b 的线性组合)。

因此 d₁ 也是 a 和 b 的公约数之一。

证明 d₁ ≤ d₀ :

由于 d₁ 是 a 和 b 的公约数，而 d₀ 是 a 和 b 的最大公约数，因此 d₁ 必须小于或等于 d₀

结论:

通过上述逻辑推理，我们验证了 d₀ = d₁ 。这说明使用辗转相除法，即使在每次迭代中 a 和 b 被更新为较小的数，最大公约数仍然保持不变，直到找到最终解。

除了最大公约数的计算，你知道辗转相除法还有哪些其他数学领域的应用？欢迎在下面留下精彩评论。