数学的理解 一般性原理 15 万物皆数

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数学的理解 一般性原理 15 万物皆数

距今2500多年前，有位很著名的古希腊人，叫毕达哥拉斯。许多人知道这个名字是因为毕达哥拉斯定理，也就是咱们老祖宗的勾股定理。老毕创立了一个集政治、学术、宗教三位一体的神秘团体，史称毕达哥拉斯学派。该学派的一个基本信条是所谓“万物皆数”：宇宙的一切都可以归结为整数或整数之比。

当是时，还没有后世称为代数的学问，古希腊人掌握的主要就是几何。甚至呢，古希腊人可能起初都没讲过什么整数之比。那他们是怎样子说法呢？

他们用了一个叫“公度量”的概念。就是说对已知的两个线段，找到一个叫公度量的线段，使得已知的两条线段都是这个公度量的整倍数。然后，古希腊人就说了，对任意两条线段，都能找到可作为其公度量的线段。

这句话是什么意思？对不对呢？

公度量相当于是找到一个尺子，两个线段的长度恰好都是这个尺子的整数倍。当两个线段相比时，分子分母都有这个公度量，可以约掉，分子和分母就只剩下整数了，这不就是今天我们说的分子分母最大公约数的概念么。于是结论就来了：任意两个线段之比，都可以用整数之比来表示。这就是古希腊人的意思。

那么，这个线段之比该怎么求呢？古希腊人用的方法，叫做辗转相除法，或者叫做长除法。

辗转相除法，一个已经存在3000多年的古老算法。在没有代数的年代，发现这样的算法，令人尊敬佩服。作为后来者，再不了解辗转相除法，那真是不应该了。

今世基于代数，了解辗转相除法，比古人容易多了。

用代数的语言，这个算法的基础是余数定理：整数a除以整数b，存在唯一的整数商s和整数余数r，其中a＞b＞r≥0。即a＝sb＋r，s和r是唯一的。

余数定理表明（a＝sb＋r），能够同时整除a和b的整数，就一定能整数r。即（a，b）与（b，r）具有相同的公约数：同时整除a、b的整数也同时整除b、r；反之亦然。

这样，每一次长除法后，如果r≠0，那就用较小的一对（b，r）取代原来较大的一对（a，b），如此进行直到r＝0为止。值得注意的是，在这个迭代的过程中，公约数始终保持不变，那么最后r＝0时的除数自然就是a、b的最大公约数了。这个最大公约数，就可以用作公度量。

两个整数起码存在一个公约数1，所以肯定能在有限的步骤达到r＝0的条件。

线段之比代数上讲就是整数之比。古希腊的“万物皆数”，用现代语言，意思其实就是“任意的数（线段之比）都可以用整数之比来表示”。

妥了，意思明白了，那么古希腊人的结论对不对呢？

数学就是一个逻辑推理体系。对或不对，归根结底在于逻辑上是否有漏洞或者矛盾。既然存在用整数之比表示的数，基于二元逻辑法则，就不能排除“不能用整数之比表示的数”存在的可能。二者一起才能构成“逻辑完备的”数系，如图所示。

基于二元逻辑法则的数系

接下来的事就简单多了。要么找到起码一个“不能用整数之比表示的数”；要么从理论上证明这样的数不存在。