经典初中代数数列求和计算题（四）计算：1²+2²+…+100²

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计算：1²+2²+…+100²

先说结果：1²+2²+…+n² = n(n+1)(2n+1)/6

这是一个现成的结论，是平方和求和公式，可以直接使用。但是如何证明呢？

先说一个证明这类问题不用动脑子的方法：数学归纳法。

初中是没学数学归纳法的，但是可以参考一下证明方法，顺便了解一下数学归纳法的思想。

证明：1²+2²+…+n² = n(n+1)(2n+1)/6

当n=1时，结论成立。

假设n时结论成立，即1²+2²+…+n² = n(n+1)(2n+1)/6

当n=n+1时：

命题得证。

现在我们不把这个结论作为已知的结论来证明，我们只求这个算式，那么该怎么办？还是裂项法吗？我是没有尝试出来，有懂的大师可以指点一下。

这个表达式的计算使用了一种较为巧妙的构造方法，使用三次方的展开，一般情况不太容易想到，下面记录一下。

立方和展开公式为：

(x+y)³=x³+3xy²+3x²y+y³

于是有：

(x+1)³-x³= x³+3x²+3x+1-x³=3x²+3x+1

那么：

2³-1³=3×1²+3×1+1

3³-2³=3×2²+3×2+1

…

(n+1)³-n³=3n²+3n+1

全部相加，可以得到：

(n+1)³-1=3(1²+2²+…+n²)+3(1+2+…+n)+n

到这里，已经凑出来1²+2²+…+n²的形式，只有1+2+…+n需要进一步计算。

计算1+2+…+n需要用到一个高中阶段等差数列的求和公式，但是初中阶段完全可以自行推导。先说结论

1+2+…+n=n(n+1)/2

这个很容易证明，使用倒序对应项相加来求。

S=1+2+…+(n-1)+n

S=n+(n-1)+…+2+1

将两式的对应项逐对相加，有：

2S=(n+1)+(n+1)+…+(n+1) （总共n项）

那么S=n(n+1)/2

我们再代入(n+1)³-1=3(1²+2²+…+n²)+3(1+2+…+n)+n，计算得：

这是一个可以直接拿来使用的公式。现在当n=100时，就容易计算了吧。