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倍数，我们都学过，很简单——一个整数能被另一个整数整除，这个整数就是另一个整数的倍数。有的同学说，小数、分数都学过了，还不懂整数、倍数吗？其实，也不一定。
我们都知道：
1的倍数——任意整数都是1的倍数。
2的倍数——任意偶数（双数）都是2的倍数。
5的倍数——末尾是5或者0的整数都是5的倍数。
（这里说明一下：0是任何非零自然数的倍数。但是考虑到研究最大公约数和最小公倍数时，如果不排除0，很多问题无从讨论。例如，讨论0和5的最大公因数既没有实际意义，也没有数学意义；再如，如果把0考虑在内，任意两个自然数的最小公倍数就是0，这样的研究没有任何价值。所以，我们就不考虑0了。）
那3、4、6、7、8等数的倍数呢？
首先，我们要明确3个推论。
第一个：如果A是x的倍数，那么A的倍数就是x的倍数。
我们朴素地证明一下。因为A是x的倍数，所以A除以x没有余数，所以不管有几个A，除以x都没有余数。
例如，300是4的倍数吗？不用算，因为100是4的倍数，300就是4的倍数。
第二个：如果A和B是x的倍数，那么A+B是x的倍数。（如果A>B，A-B也是x的倍数。）
也可以用上面的办法，朴素地证明一下，也可以严谨地证明一下：
因为A、B是x的倍数，设A=mx，B=nx（m，n是整数，m+n也是整数），那么A+B=mx+nx=（m+n）x，A+B等于一个整数乘x，所以A+B就是x的倍数。
第三个：如果A是x的倍数，B不是x的倍数，那么A+B不是x的倍数。（如果A>B，A-B也不是x的倍数。）
证明过程可以自己想一下。
例如：102是4的倍数吗，102=100+2,100是4的倍数，2不是，102就不是4的倍数。
有了这三个显而易见的推论，我们来看这几个数字的倍数。
3的倍数——如果一个数每一位上的数字相加，得数是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。
我们设这个数是三位数，百位上a，十位上是b，个位上是c，那么这个数就可以用100a+10b+c表示。我们需要证明：如果a+b+c是3的倍数，那么100a+10b+c就是3的倍数。
证明：100a+10b+c=（99a+a）+（9b+b）+c=99a+9b+a+b+c=3（33a+3b）+（a+b+c），因为3（33a+3b）是3的倍数，（a+b+c）也是3的倍数，根据推论2，所以两者加起来就是3的倍数。证明完毕。
更多位数的也一样。
另外的，我们可以看到，根据推论3，如果（a+b+c）不是3的倍数，那么这个数就不是3的倍数。
9的倍数也是一个道理，不做证明。
9的倍数——如果一个数每一位上的数字相加，得数是9的倍数，那么这个数就是9的倍数
4的倍数——如果一个数后两位是4的倍数，那么这个数就是4的倍数。现在我们可以更迅速的判断，一个年份是不是闰年了。
证明一下，我还用这个老熟人，三位数100a+10b+c。
根据推论1，100是4的倍数，所以100a是4的倍数，如果后两位10b+c是4的倍数，那么100a+（10b+c）就是4的倍数。证明完毕。
更多位数的也一样。
另外的，我们可以看到，根据推论3，如果后两位10b+c不是4的倍数，那么这个数就不是4的倍数。
8的倍数也是一个道理，只不过，我们要改成——如果一个数后3位是8的倍数，这个数就是8的倍数。
6的倍数——如果一个数同时是2和3的倍数，这个数就是6的倍数。
7的倍数——比较复杂，与11、13倍数规律相同。此处不作讨论。但是我们可以根据推论3，相对简单判断一个不大的数。例如353，353=350+3，350是7的倍数，3不是，那么353就不是7的倍数。
个位数的倍数， 1,2,3,4,5,6,8,9，除了7，我们就都会了。
你看，其实数学是相当有趣的，很多我们已经学过的知识。同学们，我们学的每一门学科，都是学无止境、其乐无穷。我们每一个人，都要多学、勤思，找到乐趣，就能爱上学习。
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