动态规划-线性模型

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一、动态规划简介

1. 动态规划可以用一句话概括：

动态规划是在解决多阶决策的过程中动态地选择最优决策的方法

2. 最终目的：找出最优解
3. 问题特征：
   (1). 问题范围可以缩小到多个问题单元，对应多种决策
   (2). 这多个决策动态选择组合可以充分解决整个问题
4. 解决问题三要素：
   (1). 最优子决策
   (2). 边界值
   (3). 状态抉择公式

二、线性模型

例子：小朋友过桥
四个调皮的小朋友晚上要过桥去对岸玩耍。桥一次最多只能通过两个小朋友，他们只有一个手电筒，过桥需要有人拿着手电筒，问他们怎么过最快。其中这四个小朋友的过桥速度分别为1,2,5,10 （分钟）

有的人会想到贪心算法（只要一个策略作为最优策略）：速度最快的小朋友来回传手电筒，那么有什么欠考虑的地方呢？我们一起来看一下过程图：

【贪心算法过程图】

【动态规划过程图】
图1算出19，图2算出17，相信你已经发现，一起走的两个人，如果速度相当，反而会节约时间。如果你害怕还有欠考虑的情况，那就直接用动态规划思路吧，一起来看看。

三、动态规划步骤（自底向上）：

先将小朋友按照速度快慢进行排列得到队列：
t[i]={t(1),t(2),t(3)…t(i)}
1.找出边界：
最后剩下两个小朋友、最后剩下1个小朋友
2.找出边界对应最优子决策：
最后剩下1个小朋友:
remainOne(i)=sum(i)=sum(i-1)+t(1)+t(i)
最后剩下两个小朋友:
remainTwo(i)=sum(i)=sum(i-2)+t(1)+t(i)+t(2)+t(2)
3.状态抉择：
sum(i)=min(remainOne(i),remainTwo(i))

四、送上完整java实现代码

public class AlgorithmTest { 
   
    public static int[] childTimes=new int[]{ 
   1,2,5,10};//{2,4,5,7};

    public static int indexFirst=0;
    public static int indexSecond=1;
    public static void main(String[] args) { 
   
        AlgorithmTest test=new AlgorithmTest();
        System.out.println(test.getSumTime(4-1));
        System.out.println(test.getSumTimeFor());
    }

    //递归方式
    public int getSumTime(int i) { 
   
        if (i <=indexSecond) { 
   
            if(childTimes.length==1){ 
   
                return childTimes[indexFirst];
            }
            return childTimes[indexSecond];
        }
        //如果只剩下一个，那么总耗时=i-1个人之前的总耗时+一个来回（送电筒的+最后一个的）
        int lastone = getSumTime(i - 1) + childTimes[indexFirst] + childTimes[i];
        int lasttwo = getSumTime(i - 2) + childTimes[indexFirst] + childTimes[i] + childTimes[indexSecond] + childTimes[indexSecond];
        return Math.min(lastone, lasttwo);
    }

    //备忘录方式
    public int getSumTimeFor(){ 
   
        int[] memoMin=new int[childTimes.length];
        int memoRemainOne=0;
        int memoRemainTwo=0;
        int n=childTimes.length-1;
        if (n ==indexFirst||n==indexSecond) { 
   
            if(childTimes.length==1){ 
   
                memoMin[0]= childTimes[indexFirst];
            }
            memoMin[0]= childTimes[indexSecond];
            return memoMin[0];
        }
        
        memoMin[0]=memoMin[1]= childTimes[indexSecond];
        for (int i=2;i<=n;i++){ 
   
            memoRemainOne=memoMin[i-1] + childTimes[indexFirst] + childTimes[i];
            memoRemainTwo=(memoMin[i-2])+ childTimes[indexFirst] + childTimes[i] + childTimes[indexSecond] + childTimes[indexSecond];
            memoMin[i]=Math.min(memoRemainOne, memoRemainTwo);
        }
        return memoMin[n];
    }
}

最后输出：

17
17

集合为{2,4,5,7}则输出：

20
20