四、神奇的自然常数e之“自然”初现

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或许，你也听说过这么一句话：“十八世纪初期，伟大的数学家欧拉(Euler)发现了自然常数e”。其实，早在500年前，就已出现自然常数e的影子，只是当时没人注意到这伟大的发现。

对数的出现引出自然常数e的影子

现代计算的神奇力量源自三大发明：阿拉伯数字、小数及对数。 ——卡约黎，《数学史》（1893）

如今，计算器能帮助我们解决很多复杂的运算，可如果把时钟调回500年多前的十五世纪，算个大数字的开方或乘除，可不是件容易的事。那时，意大利人伽利略（1564年-1642年）正在奠定力学基础，德国人约翰尼斯·开普勒（1571年-1630年）创立了行星运行三大定律。这些科学发展也带来了庞大的数学计算需求。于是，约翰·纳皮尔（1550年-1617年）挺身而出，勇挑重担。

约翰·纳皮尔的兴趣在于球面三角学的运算，他重新建立了求解球面直角三角形的10个公式的巧妙记法——“纳皮尔圆部法则”，建立了解球面非直角三角形的两个公式——“纳皮尔比拟式”。这样一个精通三角学的牛人，想必下述公式对他而言，简直是家常便饭。

上式是经典的积化和差公式，巧妙之处在于用加减法解决了乘除法的问题。约翰·纳皮尔的另一个灵感来自于几何级数，简单的说就是如下公式：

两个同样的底数相乘，其指数相加即可，同理，指数相减即可。

约翰·纳皮尔认为：如果我们能将任何正数写成某个固定值（即底数）的幂（也称指数），那么计算数的乘除法就可以转换为计算它们指数的加减法，然后再计算该固定值的N次幂。

举个例子：

假设以固定值2作为底数，计算32乘128时，通过查表，我们发现对应的指数分别为5和7，相加之后为12，再从表中找到指数为12的值为4096。这样，通过加减法和查表就能解决乘除法问题。这种想法很棒，难点是选择一个怎样的固定值作为底数。如果选择2为底数，那么指数从0变到10这11个整数的时候，对应的原值就从1快速增长到1024，如果希望用到911这样的数字，无法找到接近的以2为底数的指数。

经过数年斟酌，约翰·纳皮尔决定用0.9999999，即$1-10^7$。他将一个完整的单位为份，取其中$10^7$份，即剩余份数N为：

$N=10^7(1-10^7{)}^L$ （1）
比如：
L=0时，$N=10^7$；
L=1时，N=9999999；
L=10时，N=9999990；
L=100时，N=9999900；
……
L=22022时，N=9978002；
……
L=225707时，N=9776821；
……
L=429392时，N=9579696；
（以上计算的值四舍五入取整）
若要计算$\sqrt{9978002\times 9579696}$的值，先查表，将22022与429392相加再除以2，得225707，再查表找到对应的值为9776821。

接下来的任务，就是要完成一张庞大的对数表了，这一做就花了20年。1614年，约翰·纳皮尔写了一部名为《奇妙的对数表的描述》的专著，后被科学家们广泛接受。

再来仔细看一下公式（1），将公式（1）两边都除以$10^7$，得：
$N^{\ast }=[(1-10^7{)}^{10^7}{]}^{L^{\ast }}$ （2）
上式中：
$N^{\ast }=N/10^7$；$L^{\ast }=L/10^7$，
则：
$lo{g}_{(1-10^7{)}^{10^7}}{N}^{\ast }=L^{\ast }$ （3）
实际上：
$\frac{1}{(1-10^7{)}^{10^7}}=2.71828196294236557\approx e$
可以看出，约翰·纳皮尔做的对数表，其实是以1/e为底的对数，可惜他还没有清楚的认识到这伟大的发现。

而同一时期，瑞士钟表匠约斯特·比尔吉（1552年~1632年）也坚称自己发明了对数，据说约斯特·比尔吉早在1588年就完成了他的发明，但是直到1620年才发表，不多说了，简直就是一个悲剧。所以说，成名第一要素就是专利、论文要趁早发！

小编总结
铺垫篇
1）自然现象应该是通过观察、思考总结出的规律，而不是人为幻想或创造出的东西。
2）自然规律比人为定制的规律更可靠、权威。对于自然常数e，它就是从自然界中被发现的数字，而不是创造出来的。
3）自然数是人类对自然世界的物质进行抽象的总结和归纳，而负数、分数、小数等数无法直接从自然世界的物质中总结和归纳出来，必须通过计算得出。
正文篇
1）自然常数e早在500多年前就应用到人们的数学计算中，但是直到十八世纪，数学家欧拉才正式给它命名。瑞士钟表匠自称比约翰·纳皮尔更早发现对数，但因没有及时发表专著，从而失去了一夜成名的机会。历史的教训告诉我们，做学术不仅要专研，还要及时发表成果。