自适应波束形成（一）——窄带波束形成和宽带波束形成

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        在许多波束形成应用中，我们经常需要根据接收到的阵列数据来更新波束形成器系数，以获得不同情境下的最优解决方案。若环境是变化的，系数也要自适应变化，这就是自适应波束形成器。

        运用波束形成技术，利用麦克风阵列估计指定方向上的混有噪声和干扰的期望信号。这些麦克风阵元位于不同的空间位置，对声波进行空间采样，然后对采样信号进行处理以衰减干扰信号并提取期望信号。这样就得到一个特定的阵列空间响应，其主瓣指向期望信号而对干扰进行陷波。

1 窄带波束形成

        图1所示为一个简单的线性阵列波束形成结构，M个麦克风对声波进行空间采样，在t时刻系统输出y(t)是这些空间样本x_m(t)，m=0，1，… ，M-1，的瞬时线性组合，即

其中符号*表示复共轭。

                                 图1 窄带波束形成一般结构

        窄带波束形成器仅对正弦曲线或窄带信号有效，即信号的带宽足够窄，使得阵列两端接收到的信号依然是相关的。

        假设输入信号是冲激复平面波e^jωt，其角频率为ω，到达角为θ(θ∈[-π/2 π/2])，如图1所示。假设第一个阵元接收信号相位为0，则第一个阵元接收信号为x₀(t) = e^jωt；第m个阵元接收信号x_m(t) = e^jω(t-τm)，m=1，2，…，M-1，其中τ_m为波从第一个麦克风到第m个麦克风的传播时延，是一个关于到达角θ的函数。此时波束形成器输出为

其中τ₀=0。波束形成器的响应为

其中向量w包含M个传感器的复共轭系数，H表示共轭转置，即

                        
w = [w
₀ w
₁… w
_M-1]
^T

T表示转置，向量d(ω,θ)为阵列响应向量，也称为注视向量或指向向量，即

                        
d(
ω,
θ) = [1 e
^-j
ω
τ1 …e
^-j
ω
τM-1]
^T

        假设阵元间距d=λ/2，那么ωτ_m=(2πc/λ)(mdsinθ/c)=mπsinθ，则窄带波束形成器响应写为

        而一个具有相同系数的有限长度脉冲响应(FIR)滤波器的频率响应为

其中Ω∈[-π，π]为归一化频率。而θ∈[-π/2，π/2]，因而πsinθ∈[-π，π]，与上式中Ω有相同的范围。因此，可直接通过设计FIR滤波器法设计窄带波束形成器。

2 宽带波束形成器

        因为窄带信号频带很窄，所以可以在窄带中取某一频率作为代表，通过上面的公式式计算相应的w。但是对于宽带信号，其包含许多频率成分，则滤波器权系数就要随频率的变化而变化，此时权向量可写成

它可通过一系列快拍延时线(Tapped Delay-Lines，TDLs)获得，其实质上是一种可以对接收信号不同频率成分进行相位补偿的时域滤波器，其结构如图2所示。

                                                       图2 宽带波束形成器一般结构

        这种结构的波束形成器对声波进行时间和空间采样，其输出为

其中J-1是每个传感器的延时滤波器阶数，T_s是相邻快拍延时。

        将上式写成向量形式

                        y(t) = w^Hx(t) 

其中向量w包含MJ个系数

                        
w = [
w
₀
w
_{1 …}
w
_J-1]
^T

式中每个向量w_i，i=0，1，…，J-1，包含M个TDLs第i个快拍的复共轭系数

                        
w
_i = [w
_0,i  w
_{1,i  …}w
_M-1,i]
^T

类似地，输入信号x为

                        
x = [
x
₀(
t)
x
₁(
t-T
_s) …
x
_J-1(
t-(J-1)T
_s)]
^T

式中x_i(t-iT_s)，i=0，1，…，J-1，为第i个数据快拍

                        
x(
t-iT
_s) = [x
₀(
t-iT
_s) x
₁(
t-iT
_s)…x
_M-1(
t-iT
_s)]
^T

当J=1时就是窄带波束形成器。

        对于冲激复平面波e^jωt，假设x₀(t) = e^jωt，则有

                        x_m(t-iT_s)= e^{jω(t-(τm+iTs))}

式中m=0，1，…，M-1，i=0，…，J-1。阵列输出为

式中P(θ,ω)是波束形成器响应，它是角度θ和频率ω的函数，d(θ,ω)是新的指向向量，其表达式为

                        
d(
θ,
ω) = [e
^-jωτ0 …e
^-jωτM-1 e
^-jω(τ0+Ts)…e
^{-jω(τM-1+Ts)} …e
^{-jω(τ0+(J-1)Ts)} …e
^{-jω(τM-1+(J-1)Ts)}]