大家好，欢迎来到IT知识分享网。
一.级数的敛散性
1.相关概念
(1)数项级数与部分和数列:
(2)收敛与发散:
(3)原级数与部分和数列的关系:
2.级数收敛的柯西准则:
定理12.1:级数(1)收敛的充要条件是:对 ∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N + ∀ε>0,∃N∈N_+ ∀ε>0,∃N∈N+,使得当 m > N m>N m>N时,对 ∀ p ∈ N + ∀p∈N_+ ∀p∈N+都有 ∣ u m + 1 + . . . + u m + p ∣ < ε ( 6 ) |u_{m+1}+…+u_{m+p}|<ε\qquad(6) ∣um+1+...+um+p∣<ε(6)
相应地,级数(1)发散的充要条件是: ∃ ε 0 > 0 ∃ε_0>0 ∃ε0>0,对 ∀ N ∈ N + ∀N∈N_+ ∀N∈N+,总 ∃ N < m 0 ∈ N + ∃N<m_0∈N_+ ∃N<m0∈N+和 p 0 ∈ N + p_0∈N_+ p0∈N+,有 ∣ u m 0 + 1 + . . . + u m 0 + p 0 ∣ ≥ ε 0 ( 7 ) |u_{m_0+1}+…+u_{m_0+p_0}|≥ε_0\qquad(7) ∣um0+1+...+um0+p0∣≥ε0(7)
推论:若级数(1)收敛,则 lim n → ∞ u n = 0 \displaystyle\lim_{n \to \infty}u_n=0 n→∞limun=0
3.级数的性质:
定理12.2:若级数 ∑ u n , ∑ v n \sum u_n,\sum v_n ∑un,∑vn均收敛,则对∀常数 c , d c,d c,d,级数 ∑ ( c u n + d v n ) \sum(cu_n+dv_n) ∑(cun+dvn)也收敛,且 ∑ ( c u n + d v n ) = c ∑ u n + d ∑ v n \sum(cu_n+dv_n)=c\sum u_n+d\sum v_n ∑(cun+dvn)=c∑un+d∑vn
定理12.3:去除/增加/改变级数的有限个项不改变级数的敛散性
定理12.4:在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变级数的和
注意:该性质仅适用于收敛级数,对发散级数不适用;因此,从级数加括号后的收敛,不能推断其在加括号前也收敛,如 ( 1 − 1 ) + ( 1 − 1 ) + . . . + ( 1 − 1 ) + . . . = 0 + 0 + . . . + 0 + . . . = 0 (1-1)+(1-1)+…+(1-1)+…=0+0+…+0+…=0 (1−1)+(1−1)+...+(1−1)+...=0+0+...+0+...=0收敛,但 1 − 1 + 1 − 1 + . . . + 1 − 1 + . . . 1-1+1-1+…+1-1+… 1−1+1−1+...+1−1+...却是发散的
二.正项级数
1.一般判别原则
(1)正项级数收敛的充要条件:
定理12.5:正项级数 ∑ u n \sum u_n ∑un收敛的充要条件是:部分和数列 { S n } \{S_n\} {
Sn}有界,即 ∃ M > 0 ∃M>0 ∃M>0,对 ∀ n ∈ N + ∀n∈N_+ ∀n∈N+有 S n < M S_n<M Sn<M
(2)正项级数收敛的比较判别法:
定理12.6:设 ∑ u n , ∑ v n \sum u_n,\sum v_n ∑un,∑vn是2个正项级数,如果 ∃ N > 0 ∃N>0 ∃N>0,对 ∀ n > N ∀n>N ∀n>N都有 u n ≤ v n ( 1 ) u_n≤v_n\qquad(1) un≤vn(1)则:①若 ∑ v n \sum v_n ∑vn收敛,则 ∑ u n \sum u_n ∑un也收敛
\:\:\:\:\: ②若 ∑ u n \sum u_n ∑un发散,则 ∑ v n \sum v_n ∑vn也发散
2.比值判别法与根值判别法
(1)达朗贝尔判别法(D’Alembert Discriminance;比值判别法):
定理12.7:设 ∑ u n \sum u_n ∑un为正项级数,且 ∃ N 0 ∈ N + ∃N_0∈N_+ ∃N0∈N+及常数 0 < q < 1 0<q<1 0<q<1,则
①若对 ∀ n > N 0 ∀n>N_0 ∀n>N0,有不等式 u n + 1 u n ≤ q ( 7 ) \frac{u_{n+1}}{u_n}≤q\qquad(7) unun+1≤q(7)成立,则 ∑ u n \sum u_n ∑un收敛
②若对 ∀ n > N 0 ∀n>N_0 ∀n>N0,有不等式 u n + 1 u n ≥ 1 ( 8 ) \frac{u_{n+1}}{u_n}≥1\qquad(8) unun+1≥1(8)成立,则 ∑ u n \sum u_n ∑un发散
推论1(比值判别法的极限形式):设 ∑ u n \sum u_n ∑un为正项级数,且 lim n → ∞ u n + 1 u n = q ( 9 ) \displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=q\qquad(9) n→∞limunun+1=q(9)则①当 q < 1 q<1 q<1, ∑ u n \sum u_n ∑un收敛
\:\:\:\: ②当 q > 1 q>1 q>1或 q = + ∞ q=+\infty q=+∞, ∑ u n \sum u_n ∑un收敛
如果某级数的(9)式的极限不存在,则可使用上/下极限来判别
推论2:设 ∑ u n \sum u_n ∑un为正项级数,则
①若 lim n → ∞ ‾ u n + 1 u n = q < 1 \overline{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\frac{u_{n+1}}{u_n}=q<1 n→∞limunun+1=q<1,则 ∑ u n \sum u_n ∑un收敛
②若 lim n → ∞ ‾ u n + 1 u n = q > 1 \underline{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\frac{u_{n+1}}{u_n}=q>1 n→∞limunun+1=q>1,则 ∑ u n \sum u_n ∑un发散
(2)柯西判别法(Cauchy Discriminance;根值判别法):
定理12.8:设 ∑ u n \sum u_n ∑un为正项级数,且 ∃ N 0 > 0 ∃N_0>0 ∃N0>0及常数 l > 0 l>0 l>0,则
①若对 ∀ n > N 0 ∀n>N_0 ∀n>N0,有不等式 u n n ≤ l < 1 ( 11 ) \sqrt[n]{u_n}≤l<1\qquad(11) nun≤l<1(11)成立,则 ∑ u n \sum u_n ∑un收敛
②若对 ∀ n > N 0 ∀n>N_0 ∀n>N0,有不等式 u n n ≥ 1 ( 12 ) \sqrt[n]{u_n}≥1\qquad(12) nun≥1(12)成立,则 ∑ u n \sum u_n ∑un发散
推论1(根值判别法的极限形式):设 ∑ u n \sum u_n ∑un为正项级数,且 lim n → ∞ u n n = l ( 13 ) \displaystyle\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{u_n}=l\qquad(13) n→∞limnun=l(13)则①当 l < 1 l<1 l<1, ∑ u n \sum u_n ∑un收敛
\:\:\:\: ②当 l > 1 l>1 l>1, ∑ u n \sum u_n ∑un收敛
如果某级数的(13)式的极限不存在,则可使用上极限来判别
推论2:设 ∑ u n \sum u_n ∑un为正项级数,且 lim n → ∞ ‾ u n n = l \overline{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\sqrt[n]{u_n}=l n→∞limnun=l则当① l < 1 l<1 l<1, ∑ u n \sum u_n ∑un收敛
\quad\:\:\: ② l > 1 l>1 l>1, ∑ u n \sum u_n ∑un发散
3.积分判别法
定理12.9:设 f f f为 [ 1 , + ∞ ) [1,+\infty) [1,+∞)上的减函数,则级数 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{f(n)} n=1∑∞f(n)收敛的充要条件是:无穷积分 ∫ 1 + ∞ f ( x ) d x \int_1^{+\infty}f(x)dx ∫1+∞f(x)dx收敛
4.拉贝判别法(Raabe Discriminance):
以p级数为比较标准,就得到拉贝判别法
定理12.10:设 ∑ u n \sum u_n ∑un为正项级数,且 ∃ N 0 ∈ N + ∃N_0∈N_+ ∃N0∈N+及常数 r > 1 r>1 r>1,则
①若对 ∀ n > N 0 ∀n>N_0 ∀n>N0,有不等式 n ( 1 − u n + 1 u n ) ≥ r n(1-\frac{u_{n+1}}{u_n})≥r n(1−unun+1)≥r成立,则 ∑ u n \sum u_n ∑un收敛
②若对 ∀ n > N 0 ∀n>N_0 ∀n>N0,有不等式 n ( 1 − u n + 1 u n ) ≤ 1 n(1-\frac{u_{n+1}}{u_n})≤1 n(1−unun+1)≤1成立,则 ∑ u n \sum u_n ∑un发散
推论(拉贝判别法的极限形式):设 ∑ u n \sum u_n ∑un为正项级数,且极限 lim n → ∞ n ( 1 − u n + 1 u n ) \displaystyle\lim_{n \to \infty}n(1-\frac{u_{n+1}}{u_n}) n→∞limn(1−unun+1)存在,则
①当 r > 1 r>1 r>1时, ∑ u n \sum u_n ∑un收敛
②当 r < 1 r<1 r<1时, ∑ u n \sum u_n ∑un发散
虽然拉贝判别法判别的范围比比值判别法或根值判别法更广泛,但当 r = 1 r=1 r=1时仍无法判别;由于没有收敛得最慢的收敛数.因此任何判别法都只能解决某类级数的收敛问题,而不能解决所有级数的收敛问题;当然,还可以建立比拉贝判别法更精细有效的判别法,但这个过程是无限的
三.一般项级数
1.交错级数
(1)概念:
(2)莱布尼兹判别法(Leibnitz Discriminance):
定理12.11:若交错级数(1)满足:
①数列 { u n } \{u_n\} {
un}单调递减
② lim n → ∞ u n = 0 \displaystyle\lim_{n \to \infty}u_n=0 n→∞limun=0
则交错级数(1)收敛
推论:若交错级数(1)满足莱布尼兹判别法的条件,则其余项估计式为: ∣ R n ∣ ≤ u n + 1 |R_n|≤u_{n+1} ∣Rn∣≤un+1
2.绝对收敛级数
(1)概念:
关于级数(5)是否绝对收敛,可使用正项级数的判别法考察级数(6)
若级数(5)收敛,但级数(6)不收敛,则称级数(5)为条件收敛级数
(2)绝对收敛级数的敛散性:
定理12.12:绝对收敛级数一定收敛
(3)绝对收敛级数的性质:
级数的重排:
定理12.13:设级数(5)绝对收敛,且其和等于 S S S,则任意重排后得到的级数(7)也绝对收敛,且有相同的和数
注意:由条件收敛级数重排后得到的新级数,即使收敛,也不一定收敛于原来的和数
实际上,条件收敛级数适当重排后,可得到发散级数或收敛于任何指定数的级数
级数的乘积:
定理12.14(柯西定理):若级数(11),(12)都绝对收敛,则对(13)中所有乘积按任意顺序排列所得到的级数 ∑ i , j u i v j = ∑ w n \displaystyle\sum_{i,j}u_iv_j=\sum w_n i,j∑uivj=∑wn也绝对收敛,且其和等于 A B AB AB
3.阿贝尔判别法与狄利克雷判别法
(1)分部求和公式(阿贝尔变换):
引理:设 ε i , v i ( i = 1 , 2… n ) ε_i,v_i\,(i=1,2…n) εi,vi(i=1,2...n)为2组实数,若令 σ k = v 1 + v 2 + . . . + v k ( k = 1 , 2… n ) σ_k=v_1+v_2+…+v_k\,(k=1,2…n) σk=v1+v2+...+vk(k=1,2...n)则有如下分布求和公式成立: ∑ i = 1 n ε i v i = ( ε 1 − ε 2 ) σ 1 + ( ε 2 − ε 3 ) σ 2 + . . . + ( ε n − 1 − ε n ) σ n − 1 + ε n σ n ( 18 ) \displaystyle\sum_{i=1}^nε_iv_i=(ε_1-ε_2)σ_1+(ε_2-ε_3)σ_2+…+(ε_{n-1}-ε_n)σ_{n-1}+ε_nσ_n\qquad(18) i=1∑nεivi=(ε1−ε2)σ1+(ε2−ε3)σ2+...+(εn−1−εn)σn−1+εnσn(18)
(2)阿贝尔引理:
推论:若
( i ) ε 1 , ε 2 . . . ε n (i)\:ε_1,ε_2…ε_n (i)ε1,ε2...εn是单调数组
( i i ) (ii)\: (ii)对 ∀ k ∈ N + ( 1 ≤ k ≤ n ) ∀k∈N_+\,(1≤k≤n) ∀k∈N+(1≤k≤n)有 ∣ σ k ∣ ≤ A ( σ k = v 1 + . . . + v k ) |σ_k|≤A\,(σ_k=v_1+…+v_k) ∣σk∣≤A(σk=v1+...+vk)
则记 ε = m a x { ∣ ε k ∣ } ε=max\{|ε_k|\} ε=max{
∣εk∣},有 ∣ ∑ k = 1 n ε k v k ∣ ≤ 3 ε A |\displaystyle\sum_{k=1}^nε_kv_k|≤3εA ∣k=1∑nεkvk∣≤3εA
下面寻找用于判断级数 ∑ a n b n = a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n + . . . ( 20 ) \sum a_nb_n=a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n+…\qquad(20) ∑anbn=a1b1+a2b2+...+anbn+...(20)敛散性的判别法
(3)阿贝尔判别法(Abel Discriminance):
定理12.15:若 { a n } \{a_n\} {
an}为单调有界数列,且级数 ∑ b n \sum b_n ∑bn收敛,则级数(20)收敛
由阿贝尔判别法可知:若 ∑ u n \sum u_n ∑un收敛,则 ∑ u n n p ( p > 0 ) , ∑ u n n + 1 \sum\frac{u_n}{n^p}\,(p>0),\sum\frac{u_n}{\sqrt{n+1}} ∑npun(p>0),∑n+1un也收敛
(4)狄利克雷判别法(Dirichlet Discriminance):
定理12.16:若数列 { a n } \{a_n\} {
an}单调递减,且 lim n → ∞ a n = 0 \displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=0 n→∞liman=0,右级数 ∑ b n \sum b_n ∑bn的部分和数列有界,则级数(20)收敛
四.一些重要级数的敛散性
1.等比级数(也称几何级数)的敛散性:
2.调和级数的敛散性:
3.p级数的敛散性:
免责声明：本站所有文章内容,图片，视频等均是来源于用户投稿和互联网及文摘转载整编而成，不代表本站观点，不承担相关法律责任。其著作权各归其原作者或其出版社所有。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容,侵犯到您的权益，请在线联系站长,一经查实,本站将立刻删除。 本文来自网络,若有侵权，请联系删除，如若转载，请注明出处：https://yundeesoft.com/12226.html
