极限 — 高等数学

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考点一：数列极限的定义

定义

笔记

1. 当n→∞时，n分之1 = 0
2. 当n→∞时，q的n次方（|q|<1）=0

考点二：函数极限的定义

定义一

定义二

笔记

1. x→∞，要想极限存在，要求x→+∞ 与 x→-∞ 的时候极限相等，若不相等，则极限不存在。
2. 当x→x0时，极限存在充要条件：x→x0+ 与 x→x0- 相等且存在
3. 极限存在，也要求左右极限都存在且相等。
4. 当x→0，则 x分之1→ ∞
5. 0分之1 → ∞
6. 一个数的负N次方等于这个数的N次方的倒数

考点三：极限的四则运算法则

法则

笔记

1. √1开n次方 = 1的n分之1次方，例如：√4开平方 = 4的分之一次方 = 2
2. n^0 = 1，例如：2012^0 = 1
3. 等比数列前n相和公式
   
   公式描述：公式中a1为数列首项，q为等比数列的公比，Sn为前n项和。
4. 当分母极限 ≠ 0 成立时，才可以用四则运算法则
5. 完全平方公式
   
6. 平方差公式
   
   公式描述：公式表示两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
7. 化简特殊法则，根据分子与分母的最高次幂来相除可化简分式
8. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加
9. lnM^n = nlnM
10. lne = 1
11. 等差数列通项公式
    
    公式描述：其中等差数列的首项为a1，末项为an，项数为n，公差为d，前n项和为Sn
12. 等差数列求和公式
    
    公式描述：其中等差数列的首项为a1，末项为an，项数为n，公差为d，前n项和为Sn。
13. 有理化就是分子分母通分
14. 将一个数带到根号里化简需要平方再处，例如：n带入根号2n里化简，就是2n×n^2

考点四：抓大头

定义

考点五：夹逼定理

定义

笔记

用夹逼定理需要找出它 ≥ 谁 和 ≤ 谁，遵循：
≤时，分子不变，分母放大
≥时，分子不变，分母缩小

考点六：无穷小与无穷大

无穷小

无穷小的性质

无穷大

无穷小与无穷大的关系

考点七：无穷小的比较

定义

常见的等价无穷小

等价无穷小代换

笔记

1. ln(1+x^2) 等价 x^2，例如：ln(1+x分之1) 等价 x分之1
2. 如果乘除某一个因子，它的极限是一个非0常数，我们可以考虑先把它算出来
3. 立方差公式
   

考点八：两个重要极限

重要极限一

重要极限二

笔记

e^2a=e，得出2a=1，因为1的任何次方都等于它本身，所以推出e=1，然后待续…（还未推完）