古怪烧脑的“理发师悖论”竟引发第三次数学危机，后来怎么样了？

传说有一个理发师,将他的顾客定义为城中“所有不给自己理发之人”。但某一天,当他想给自己理发时却发现他的“顾客”定义是自相矛盾的。因为如果他不给自己理发,他自己就属于“顾客”,就应该给自己理发;但如果他给自己理发,他自己就不属于“顾客”了,就不应该给自己理发。那么,到底自己算不算顾客? 该不该给自己理发? 这逻辑似乎怎么也理不清楚,由此而构成了“悖论”。

理发师悖论可以靠修改顾客定义来避免产生逻辑怪圈。例如理发师修改一下自己的说法:“除我本人之外,我给所有不给自己理发的人理发”,悖论就被避免了。因为理发师此时定义了一个不包括自己在内的顾客集合,这个集合没有怪圈了!所以,改变定义便能绕过去。

还有一个与“自我”有关的悖论,叫作“说谎者悖论”(liarparadox),由它引申出来许多版本的小故事。它的典型语言表达为:“我说的这句话是假话”。为什么说它是悖论? 因为如果你判定这句话是真话,便否定了话中的结论,自相矛盾;如果你判定这句话是假话,那么引号中的结论又变成了一句真话,仍然产生矛盾。

反正,上述这两个悖论导致了一种“左也不是,右也不是”的尴尬局面。说谎者悖论中的 那句话,无论说它是真还是假都有矛盾;另一个有趣的“柯里悖论”(Curry􀆳sparadox),与上述两个悖论有点不同,它导致的荒谬结论是“左也正确,右也正确”,永远正确!

我们也可以用自然语言来表述柯里悖论。比如,我给出如此一说:“如果这句话是真的,则张三是外星人。”根据数学逻辑,似乎可以证明这句话永远都是真的,为什么呢?因为这是一个条件语句,条件语句的形式为“如果A,则B”,其中包括两部分:条件A和结论B。这个例子中,A=这句话是真的,B=张三是外星人。

如何证明一个条件语句成立?如果条件 A 满足时,能够导出结论 B,这个条件语句即为“真”。那么现在,将上述的方法用于上面的那一句话,假设条件“这句话是真的”被满足,“这句话”指的是引号中的整个叙述“如果A,则B”,也就是说,A 被满足意味着“如果A,则B”被满足,亦即B成立。也就得到了B“张三是外星人”的结论。所以,上面的说法证明了此条件语句成立。

但是,我们知道事实上张三并不是外星人,所以构成了悖论。此悖论的有趣之处并不在于张三是不是外星人,而在于我们可以用任何荒谬结论来替代B。也就是说,通过这个悖论可以证明任何荒谬的结论都是“正确”的。如此看来,这个悖论实在太“悖”了!

上面浅谈的是数学中的几个简单悖论,数学中的悖论只和理论自身的逻辑有关,修改理论便可解决。物理中的佯谬除了与理论自身的逻辑体系有关,还要符合实验事实。打个比方说,数学理论的高楼大厦自成一体,建立在自己设定的基础结构之上。物理学中则有“实验”和“理论”两座高楼同时建造,彼此相通相连、不断更新。理论大厦不仅要满足自身的逻辑自洽,还要和旁边的实验大楼统一考虑,每一层都得建造在自身的下一层以及多层实验楼的基础之上。因此,在物理学发展的过程中,既有物理佯谬,也有数学悖论,可能还有一些未厘清难以归类的混合物产生出来,也许这可算是英语中使用同一个单词表达两者的优越性。

其实悖论就是矛盾,矛盾产生危机。所以数学的几次危机也可以用悖论来表述。古希腊时代那次数学危机,起因于希帕索斯发现无理数的“希帕索斯悖论”。第二次无穷小危机则与芝诺悖论及伯克利质疑牛顿“无穷小量幽灵”的悖论有关,它的解决为微积分奠定了坚实的基础。第三次危机则与理发师悖论联系在一起。

是谁想出这么一个古怪烧脑的“理发师悖论”来折腾人? 数学发展得好好的,实在像是没事找事无事生非。的确如此,前两次数学危机的解决,建立了实数理论和极限理论,最后又因为有了康托的集合论,数学家们兴奋激动,认为数学第一次有了“基础牢靠”的理论。

提出理发师悖论的是英国人伯特兰·罗素,一位出生显赫的贵族,一个造诣非凡的真正大师。

罗素的家庭了不得,他爷爷曾经出任过英国的两任首相。罗素自己更了不得,他是著名的历史学家、哲学家、数学家,各方面多产的大师。他创建分析哲学,提倡自由教育;他的历史巨著《西方哲学史》,在哲学界广为人知;更没想到的是,他还获得了1950年的诺贝尔文学奖。罗素与罗素悖论(Russellparadox)(某种意义上等效于理发师悖论)有关的是《数学原理》。这部巨著,洋洋洒洒三大卷近 2000页,罗素耗费十年工夫才得以完成。罗素认为所有的数学可以约化为逻辑,为此目的作者们使用了极度冗长繁琐的推理。比如,花了将近400页的内容,才得以正确地定义“1”及“1+1”。当年对数学基础的研究有三大主义。除罗素信奉的逻辑主义之外,还有德国的希尔伯特为代表的形式主义、荷兰数学家布劳威尔为代表的直觉主义。

解决理发师悖论好像比较容易,改变顾客的定义便能绕过去。但对学术上的“集合论”,就不那么容易了,不过原则上可以借鉴:就是在定义集合的时候,要避免“自我”指涉。

实际上,集合可以分为在逻辑上不相同的两大类,一类(A)可以包括集合自身,另一类(B)不能包括自身。可以包括自身的,比如图书馆的集合仍然是图书馆;不能包括自身的,比如全体自然数构成的集合并不是一个自然数。显然一个集合不是A类就应该是B类,似乎没有第三种可能。但是,罗素问:由所有B类集合组成的集合X,是A类还是B类?如果你说X是A类,则X应该包括其自身,但是X是由B类组成,不应该包括其自身。如果你说X是B类,则X不包括其自身,但按照X的定义,X包括所有的B类集合,当然也包括其自身。

总之,无论把X分为哪一类都是自相矛盾的,包含自己或不包含自己都有矛盾,这就是罗素悖论,即理发师悖论的学术版。

因此,此类悖论是产生于“集合”的定义牵涉到“自我”指涉,那么,如果将自身排除在集合之外,悖论不就解决了吗?问题并非那么简单。几个悖论都牵涉到“自我指涉”(self-reference)的问题。理发师不知道该不该给“自己”理发?说谎者声称的是“我”说的话。看起来,将自身包括在“集合”中不是好事,可能会产生出许多意想不到的问题。这些悖论提醒数学家们重新考察集合的定义,康托的集合论对“集合”的定义太原始,以为把任何一堆东西放一起,只要它们具有某种简单定义的相同性质,就可以数学抽象为“集合”。人们后来将康托的理论称为“朴素集合论”。为它制定了一些“公理”作为条条框框,从而使得康托的朴素集合论走向了现代的“公理集合论”。

人们认为数学的第三次危机尚未被完全解决,不过似乎是属于逻辑和哲学层面的问题,不太影响数学的发展。

此外,数学史上的三次危机以及导致危机的悖论的根源,都与连续和无限有关,都是无限进入人的思维领域中导致思考方法之不同所产生的。第一次是从整数、分数扩展到实数,虽然整数和分数有无限多,但本质上仍然有别于(小数点后数字)无限不循环的无理数。第二次危机中的微积分革命导致对“无限小”本质的探讨,推导总结发展了极限理论。第三次危机涉及的“集合”,显然需要更深究“无限”的概念。看来,的确如数学家外尔所说:数学是无限的科学。实际上“无限”的概念对物理学和其他科学也至关重要,宇宙(时空)是有限还是无限的? 物质是否可以“无限”地分下去? 存在“终极理论”吗? 是否它只是无限逼近的一个理论极限? 人类思维有极限吗? 我们(细胞数目)有限的大脑,能真正想通“无限”这个问题吗? 就像小狗永远也学不会微积分那样,有些东西对我们人类的大脑来说,是不是也可能是永远无法认知的?

不断地发现、提出、研究,直至最终解决悖论佯谬,这就是科学研究。科学中的悖论佯谬是科学发展的产物,预示我们的认识即将进入一个新的阶段。正如数学史上悖论引发的三次危机,既是危机又是契机,有力地推动了数学的发展,促进了人类的进步。

罗素悖论稍微延缓了数学大厦的建设,却并未打碎许多数学家心中的梦。他们仍然坚信并热衷于在某些公理的基础上推导出宇宙间所有的定理,企图建立一个美丽牢固的数学大厦。然而,没料到突然杀出了一位哥德尔,大神出场直接宣布了一个“哥德尔不完全性定理”:判定数学大厦根本无法建立,那只是数学家们不切实际的梦想。那么,哥德尔不完全性定理到底是什么呢?

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