subset selection

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这几天看the elements of statistical learning,觉得非常吃力，可能自己水平还不够，觉得这书不适合初学者看，就从Subset Selection 这一章节来说，本文说了主要说了三个点，best-subset selection,stepwise selection and stagewise selection,但是后面两个并没有特别详细的做法步骤，看的似懂非懂，后来在网上各种查，花钱买vpn上谷歌，我也是蛮拼的。

本节主要想表述选取子集的方法，就是在很多个variable里面选择其中比较好的几个来regression,而不是用所有的variable来做regression,那如何衡量选取的好坏呢？还是用那个最小二乘的方法。

1best-subset selection:

这个方法显得非常直观，对于选取k个variable,就是花极高的复杂度，来枚举所有情况求出最小的,下图很好的说明了这个：

红色点为当前k个variable能达到的最小二乘，灰色点为其他非最优的情况，值得说明的两点是：

1 红点的值随着k增大肯定是不递增的，可以思考下为什么？

2 若k的时候求最优选择了某个variable，那么大于k的情况求最优不一定会选择该variable。

2 stepwise selection：

这个方法是一个基于贪心的方法，但是他只是局部最优，并不是全局最优的，但是在一定程度上，已经非常接近全局的最优解了。它又可以分为两种，一种是forward,另外一种是backward，前一种是在空的variableset中add variable，后一种则是满的variableset中delete variable，详细说明下前一种，过程如下：

1初始每个特征的系数为0，初始残差为y。

2每次从没被选过的variable中选择与y相关性最大的variable，加入到当前的集合中，然后对新的集合做regression，做完regression后又产生了新的残差赋给y,重复这一步，直到选了k个variable。

值得说明的是，每次加入一个新的variable，对于入选集合中的所有variable会做一下regression,所以所有variable的系数都会改变。

对于backward，则是刚好相反，每次都是从集合中删去相关性最小的variable,直到只剩下k个variable。

这里说明下，k是做这个selection之前要确定的一个数。

3 stagewise selection：

这个方法和上一个有一些类似，但是又有很大不同，每次也是根据和残差相关性最大来选择一个variable，但是每次选择都是从所有variable集合中选，而不是在没被选择过的variable中选，那么显然，这样选过了又会被选到，就会大大的增加这个过程的执行时间。过程如下：

1初始每个特征的系数为0，初始残差为y。

2每次从所有feature中选择与y相关性最大的variable，然后对选入的variable按照这个variable做regression的方向移动一段较小的位置，之后又产生了新的残差赋给y,重复这一步。

附一张截图，可以看出这四种方法的关系，由于stepwise selection并不是全局最优，但是他能节省很多计算时间并且非常接近最优，也是一种不错的方法，而对于stagewise selection，可以看到它递减得特别慢，这是因为它每一个step走的非常少。

另外，下次我想写Least angle regression，希望我能尽量理解那篇93页的论文吧！！！