20201205 旋转矩阵导数的推导过程

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本文不讲旋转矩阵导数的证明，直接讲其中一种推导过程。

对象：姿态旋转矩阵

坐标系定义：

1. 本体坐标系 ${\mathcal{F}}_B$，
2. 参考坐标系 ${\mathcal{F}}_R$

欧拉旋转定理：

${\mathcal{F}}_B$ 相对于 ${\mathcal{F}}_R$ 的旋转可以表示成绕某一个单位轴 $\mathbf{e}$ 旋转 $\phi$

相关定义：

1. 旋转矩阵 $R$：从 ${\mathcal{F}}_R$ 到 ${\mathcal{F}}_B$ 的姿态旋转矩阵，其大小为$R=\cos \phi I_3+\left(1-\cos \phi \right)\mathbf{e}{\mathbf{e}}^{\mathrm{T}}-\sin \phi {\mathbf{e}}^{\times }$。

2. 旋转角速度 $\mathbf{\omega }$：${\mathcal{F}}_B$ 相对于 ${\mathcal{F}}_R$ 的旋转角速度在 ${\mathcal{F}}_B$ 上的投影，其大小为 $\mathbf{\omega }=\omega \mathbf{e}$， 其中 $\omega$ 为 $\mathbf{\omega }$ 的转速大小。

3. ${\mathbf{e}}^{\times }=\left[\begin{array}{ccc}0& -e_3& e_2\\ e_3& 0& -e_1\\ -e_2& e_1& 0\end{array}\right]$。

旋转矩阵导数推导过程：

假设始终匀速旋转，在 $t$ 时刻，存在极小的时间段 $\Delta t$ 的旋转可以满足：
$$\mathbf{R}(t+\Delta t)=\mathbf{R}(\Delta t)\mathbf{R}(t)$$
其中，根据旋转矩阵的定义，可以得：
$$\mathbf{R}(\Delta t)=\cos \Delta \phi I_3+\left(1-\cos \Delta \phi \right)\mathbf{e}{\mathbf{e}}^{\mathrm{T}}-\sin \Delta \phi {\mathbf{e}}^{\times }$$
根据极限的思想，在极小的 $\Delta t$ 中产生的 $\Delta \phi$ 也是极小的，那么也就是说
$$\cos \Delta \phi =1\text{and}\sin \Delta \phi =\Delta \phi$$
将其带入 $\mathbf{R}(\Delta t)$ 的表达式，可以得到
$$\mathbf{R}(\Delta t)=I_3-\Delta \phi {\mathbf{e}}^{\times }$$

$$\begin{array}{rl}\frac{d\mathbf{R}}{dt}& =\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\mathbf{R}(t+\Delta t)-\mathbf{R}(t)}{\Delta t}\\ & =\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\mathbf{R}(t)-\Delta \phi {\mathbf{e}}^{\times }\mathbf{R}(t)-\mathbf{R}(t)}{\Delta t}\\ & =\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{-\Delta \phi {\mathbf{e}}^{\times }\mathbf{R}(t)}{\Delta t}\\ & =\underset{\Delta t\to 0}{\lim }-\omega {\mathbf{e}}^{\times }\mathbf{R}(t)\\ & =-{\mathbf{\omega }}^{\times }\mathbf{R}\end{array}$$

结论：$\dot{\mathbf{R}}=-{\mathbf{\omega }}^{\times }\mathbf{R}$

参考文献：章仁为. 卫星轨道姿态动力学与控制. 5.3节姿态运动学方程

附件：

加个$\mathbf{R}(t+\Delta t)=\mathbf{R}(\Delta t)\mathbf{R}(t)$推导