【数学建模笔记 22】数学建模的模糊数学模型

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定义

模糊数学就是用数学方法研究与处理模糊现象的数学。

现实的数学模型可以分为三大类：

• 确定性数学模型：模型背景具有确定性，对象之间具有必然关系；
• 随机性数学模型：模型背景具有随机性和偶然性。
• 模糊性模型：模型背景具有模糊性。

被讨论的对象全体称论域，用 $U,V$ 等表示。

对于论域 $U$ 的每个元素和某一子集 $A$，在经典数学中，要么 $x\in A$，要么 $x\notin A$。

在模糊数学中，称没有明确边界的集合为模糊集合，元素属于模糊集合的程度用隶属度表示，计算隶属度的函数称隶属函数。

论域 $U$ 到 $[0,1]$ 闭区间上的任意映射
$$M:U\to [0,1],u\to M(u),$$
都确定了 $U$ 上的一个模糊集合，$M(u)$ 称隶属函数，记 M = { ( u , M ( u ) ∣ u ∈ U } M=\{(u,M(u)|u\in U\} M={
(u,M(u)∣u∈U}，使得 $M(u)=0.5$ 的点称过渡点，最具模糊性。

指派法

指派法是一种主观方法，依据人们的实践经验确定隶属函数。一些常用分布如：

• 矩阵型
  $$M(x)=\{\begin{array}{rl}& 1,a\le x\le b,\\ & 0,x<aorx>b.\end{array}$$

• 梯形型
  $$M(x)=\{\begin{array}{rl}& \frac{x-a}{b-a},a\le x\le b,\\ & 1,b<x\le c,\\ & \frac{d-x}{d-c},c<x\le d,\\ & 0,x<aorx>d.\end{array}$$

• k 次抛物型
  $$M(x)=\{\begin{array}{rl}& (\frac{x-a}{b-a}{)}^k,a\le x\le b,\\ & 1,b<x\le c,\\ & (\frac{d-x}{d-c}{)}^k,c<x\le d,\\ & 0,x<aorx>d.\end{array}$$

• $\Gamma$ 型
  $$M(x)=\{\begin{array}{rl}& e^{k(x-a)},x<a,\\ & 1,a\le x\le b,\\ & e^{-k(x-b)},x>b.\end{array}$$

• 正态型
  $$M(x)=exp[-(\frac{x-a}{\sigma }{)}^2]$$

模糊矩阵

设 U = { x 1 , x 2 , … , x m } , V = { y 1 , y 2 , … , y n } U=\{x_1,x_2,\dots,x_m\},V=\{y_1,y_2,\dots,y_n\} U={
x1​,x2​,…,xm​},V={
y1​,y2​,…,yn​}，$R$ 为从 $U$ 到 $V$​ 的模糊关系，隶属函数为 ${\mu }_R(x,y)$，对任意 $(x_i,y_j)\in U\times V$，有
$${\mu }_R(x_i,y_j)=r_{ij}\in [0,1],$$
记 $R=(r_{ij}{)}_{m\times n}$ 为模糊矩阵。

模糊模型识别

最大隶属度原则

设 $A_i\in F(U),i=1,2,\dots ,n$，对 $u_0\in U$，若存在 $i_0$，使
A i 0 ( u 0 ) = max ⁡ { A 1 ( u 0 ) , A 2 ( u 0 ) , … , A n ( u 0 ) } , A_{i0}(u_0)=\max\{A_1(u_0),A_2(u_0),\dots,A_n(u_0)\}, Ai0​(u0​)=max{
A1​(u0​),A2​(u0​),…,An​(u0​)},
则认为 $u_0$ 相对隶属于 $A_i$。

例子

考虑人的年龄问题，分年轻、中年、老年三类，对应三个模糊集 $A_1,A_2,A_3$，设论域 $U=(0,100]$，且对 $x\in (0,100]$ 有
$$A_1(x)=\{\begin{array}{rl}& 1,0<x\le 20,\\ & 1-2(\frac{x-20}{20}{)}^2,20<x\le 30,\\ & 2(\frac{x-40}{20}{)}^2,30<x\le 40,\\ & 0,40<x\le 100.\end{array}$$

$$A_3(x)=\{\begin{array}{rl}& 1,0<x\le 50,\\ & 2(\frac{x-50}{20}{)}^2,50<x\le 60,\\ & 1-2(\frac{x-70}{20}{)}^2,60<x\le 70,\\ & 1,70<x\le 100.\end{array}$$

$$A_2(x)=1-A_1(x)-A_3(x).$$

若某人 35 岁，代入得
$$A_1(35)=0.125,A_2(35)=0.875,A_3(35)=0,$$
可见 35 岁属于中年。

择近原则

设 $A_i,B\in F(U)$，若存在 $i_0$ 使
N ( A i 0 , B ) = max ⁡ { N ( A 1 , B ) , N ( A 2 , B ) , … , N ( A n , B ) } N(A_{i0},B)=\max\{N(A_1,B),N(A_2,B),\dots,N(A_n,B)\} N(Ai0​,B)=max{
N(A1​,B),N(A2​,B),…,N(An​,B)}
则认为 $B$ 与 $A_{i0}$​ 最贴近，判定为一类。其中 $N(A,B)$ 表示 $A,B$ 的贴进度。

贴近度

贴进度是对两个模糊集接近程度的度量。

• 海明贴近度

若 U = { u 1 , u 2 , … , u n } U=\{u_1,u_2,\dots,u_n\} U={
u1​,u2​,…,un​}，则
$$N(A,B)\underset{=}{\Delta }1-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n|A(u_i)-B(u_i)|,$$
若 $U=[a,b]$​，则
$$N(A,B)\underset{=}{\Delta }1-\frac{1}{b-a}{\int }_a^b|A(u)-B(u)|du.$$

• 欧几里得贴近度

若 U = { u 1 , u 2 , … , u n } U=\{u_1,u_2,\dots,u_n\} U={
u1​,u2​,…,un​}，则
$$N(A,B)\underset{=}{\Delta }1-\frac{1}{\sqrt{n}}(\sum _{i=1}^n|A(u_i)-B(u_i)|{)}^{1/2},$$
若 $U=[a,b]$​，则
$$N(A,B)\underset{=}{\Delta }1-\frac{1}{\sqrt{b-a}}({\int }_a^b|A(u)-B(u)|du{)}^{1/2}.$$

• 黎曼贴近度

若 $U=(-\infty ,+\infty )$，则
$$N_1(A,B)\underset{=}{\Delta }\frac{{\int }_{-\infty }^{+\infty }(A(u)\wedge B(u))du}{(A(u)\vee B(u))du},$$

$$N_2(A,B)\underset{=}{\Delta }\frac{2{\int }_{-\infty }^{+\infty }(A(u)\wedge B(u))du}{{\int }_{-\infty }^{+\infty }A(u)du+{\int }_{-\infty }^{+\infty }B(u)du}.$$

例子

设集合 $A_1=(0.4,0.3,0.5,0.3)$​,$A_2=(0.3,0.3,0.4,0.4)$​,$B=(0.2,0.3,0.4),0.3$​，确定 $B$ 属于哪一类。

由欧几里得贴近度有
$$N(B,A_1)=0.8882,N(B,A_2)=0.9293,N(B,A_3)=0.95,$$
因此 $B$ 属于 $A_3$ 类。

模糊聚类

构造模糊矩阵

设全体为论域 U = { u 1 , u 2 , … , u n } U=\{u_1,u_2,\dots,u_n\} U={
u1​,u2​,…,un​}，对象 $u_i$ 的特性由 $m$ 个指标表示，记 $a_i=[a_{i1},a_{i2},\dots ,a_{im}]$，得
$$A=(a_{ij})n\times m,$$
如果需要，作标准化处理得
$$B=(b_{ij})n\times m.$$
计算 $u_i,u_j$ 的模糊相似系数，构造模糊相似矩阵
$$R=(r_{ij}{)}_{n\times n}.$$
计算模糊相似系数的方法有：

• 夹角余弦法
  $$r_{ij}=\frac{{\sum }_{k=1}^m{b}_{ik}{b}_{jk}}{\sqrt{{\sum }_{k=1}^m{b}_{ik}^2}\sqrt{{\sum }_{k=1}^m{b}_{jk}^2}}.$$

• 相关系数法
  $$r_{ij}=\frac{{\sum }_{k=1}^m|b_{ik}-{\overline{b}}_i||b_{jk}-{\overline{b}}_j|}{\sqrt{{\sum }_{k=1}^m(b_{ik}-{\overline{b}}_i{)}^2}\sqrt{{\sum }_{k=1}^m(b_{jk}-{\overline{b}}_j{)}^2}}.$$

• 距离法
  $$r_{ij}=1-c(d(u_i,u_j){)}^{\alpha },$$
  选取适当 $c,\alpha$ 使 $0\le r_{ij}\le 1$​，并选取适当距离公式 $d(u_i,u_j)$。

• 最大最小法
  $$r_{ij}=\frac{{\sum }_{k=1}^m\min (b_{ik},b_{jk})}{{\sum }_{k=1}^m\max (b_{ik},b_{jk})}$$

• 算术平均最小法
  $$r_{ij}=\frac{{\sum }_{k=1}^m\min (b_{ik},b_{jk})}{\frac{1}{2}{\sum }_{k=1}^m(b_{ik}+b_{jk})}$$

• 几何平均最小法
  $$r_{ij}=\frac{{\sum }_{k=1}^m\min (b_{ik},b_{jk})}{{\sum }_{k=1}^m\sqrt{b_{ik}{b}_{jk}}}$$

构造模糊等价矩阵

构造得到的 $R$ 一般只满足自反性和对称性，采用平方法求出 $R$ 的传递闭包 $t(R)$。

对于矩阵 $R_{n\times n}$​，计算
$$R^2=R\circ R=(r_{ij}^2)$$
其中
r i j 2 = max ⁡ k { min ⁡ { r i k , r k j } } , r_{ij}^2=\max_k\{\min\{r_{ik},r_{kj}\}\}, rij2​=kmax​{
min{
rik​,rkj​}},

$$k=1,2,\dots ,n.$$

迭代计算 $R\to R^2\to \cdots \to R^{2^i}\to \dots$​​，

直到出现 $R_k\circ R_k=R_k$，即有 $t(R)=R^k$。

聚类

对于 $t(R)$​​​ 的每个元素 $t{r}_{ij}$​​，取不同阈值 $\lambda$​​ 时，若 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \tr at position 1: \̲t̲r̲_{ij}\ge\lambda​，认为 $u_i,u_j$​ 属于一类，反之不属于一类，从而画出聚类图。

例子

有五个类 $I=(5,5,3,2)$，$II=(2,3,4,5)$，$III=(5,5,2,3)$，$IV=(1,5,3,1)$，$V=(2,4,5,1)$。

使用距离法求相似系数
$$r_{ij}=1-0.1\sum _{k=1}^4|a_{ik}-a_{jk}|,$$
得相似矩阵
$$R=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0.1& 0.8& 0.5& 0.3\\ 0.1& 1& 0.1& 0.2& 0.4\\ 0.8& 0.1& 1& 0.3& 0.1\\ 0.5& 0.2& 0.3& 1& 0.6\\ 0.3& 0.4& 0.1& 0.6& 1\end{array}\right),$$
平方法求传递闭包得
$$t(R)=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0.4& 0.8& 0.5& 0.5\\ 0.4& 1& 0.4& 0.4& 0.4\\ 0.8& 0.4& 1& 0.5& 0.5\\ 0.5& 0.4& 0.5& 1& 0.6\\ 0.5& 0.4& 0.5& 0.6& 1\end{array}\right)$$
于是有：

• 0 ≤ λ ≤ 0.4 , { I , I I , I I I , I V , V } 0\le\lambda\le0.4,\{I,II,III,IV,V\} 0≤λ≤0.4,{
  I,II,III,IV,V}​​；
• 0.4 < λ ≤ 0.5 , { I , I I I , I V , V } , { I I } 0.4<\lambda\le0.5,\{I,III,IV,V\},\{II\} 0.4<λ≤0.5,{
  I,III,IV,V},{
  II}​；
• 0.5 < λ ≤ 0.6 , { I , I I I } , { I V , V } , { I I } 0.5<\lambda\le0.6,\{I,III\},\{IV,V\},\{II\} 0.5<λ≤0.6,{
  I,III},{
  IV,V},{
  II}​；
• 0.6 < λ ≤ 0.8 , { I , I I I } , { I I } , { I V } , { V } 0.6<\lambda\le0.8,\{I,III\},\{II\},\{IV\},\{V\} 0.6<λ≤0.8,{
  I,III},{
  II},{
  IV},{
  V}​；
• 0.8 < λ , { I } , { I I } , { I I I } , { I V } , { V } 0.8<\lambda,\{I\},\{II\},\{III\},\{IV\},\{V\} 0.8<λ,{
  I},{
  II},{
  III},{
  IV},{
  V}​​。

模糊综合评价

1. 确定指标集 I = { x 1 , x 2 , … , x p } I=\{x_1,x_2,\dots,x_p\} I={
   x1​,x2​,…,xp​} 和权重向量 $W=(w_1,w_2,\dots ,w_p)$；
2. 建立评语集 V = { v 1 , v 2 , … , v s } V=\{v_1,v_2,\dots,v_s\} V={
   v1​,v2​,…,vs​}；
3. 建立评价向量，获得评价矩阵 $R=(r_{ij}{)}_{p\times s}$；
4. 合成模糊综合评价结果向量，得到结果向量 $A$

$$W\circ R=(a_1,a_2,\dots ,a_s)\stackrel{\Delta }{=}A.$$

对于 $\circ$ 算子，通常有以下 4 种：

• $M(\wedge ,\vee )$
  a k = max ⁡ j { min ⁡ ( w j , r j k ) } , a_k=\max_j\{\min(w_j,r_{jk})\}, ak​=jmax​{
  min(wj​,rjk​)},

• $M(\cdot ,\vee )$
  b k = max ⁡ j { w j ⋅ r j k } , b_k=\max_j\{w_j\cdot r_{jk}\}, bk​=jmax​{
  wj​⋅rjk​},

• $M(\wedge ,+)$
  $$b_k=\sum _j\min (w_j,r_{jk}),$$

• $M(\cdot ,+)$
  $$b_k=su{m}_{j=1}^p{w}_j{r}_{jk}.$$

Python 代码

模糊聚类

对模糊聚类中的例子求解并画聚类图，代码如下：

#! /usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
# @ author: Koorye
# @ date: 2021-7-29
# @ function: 模糊聚类

# %%

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.cluster.hierarchy import dendrogram, linkage

# %%


# 距离公式
def dist(x, y):
	return np.sum(np.abs(x - y))

# 源数据
A = np.array([[5, 5, 3, 2],
              [2, 3, 4, 5],
              [5, 5, 2, 3],
              [1, 5, 3, 1],
              [2, 4, 5, 1]])

# 构造相似模糊矩阵
num = len(A)
R = np.zeros((num, num))
for i in range(len(A)):
	for j in range(len(A)):
		R[i, j] = 1 - .1 * dist(A[i, :], A[j, :])
print('R =\n',R)

# %%

# 平方法求传递闭包
def tr(R):
    R2 = R.copy()
    for row in range(len(R)):
        for col in range(len(R)):
            r_list = []
            for i in range(len(R)):
                r_list.append(np.min([R[row, i], R[i, col]]))
            R2[row, col] = np.max(r_list)
    return R2

R_old = R
R = tr(R)
while np.sum(np.abs(R-R_old)) > 1e-4:
    R_old = R
    R = tr(R)
print('t(R) =\n', R)

# %%

# 画聚类图
R2 = np.triu(1-R, 1)
R2 = R2[R2!=0]
Z = linkage(R2)
dendrogram(Z, labels=['I','II','III','IV','V'])

输出如下：

R =
 [[1.  0.1 0.8 0.5 0.3]
 [0.1 1.  0.1 0.2 0.4]
 [0.8 0.1 1.  0.3 0.1]
 [0.5 0.2 0.3 1.  0.6]
 [0.3 0.4 0.1 0.6 1. ]]
t(R) =
 [[1.  0.4 0.8 0.5 0.5]
 [0.4 1.  0.4 0.4 0.4]
 [0.8 0.4 1.  0.5 0.5]
 [0.5 0.4 0.5 1.  0.6]
 [0.5 0.4 0.5 0.6 1. ]]