聚类评估：轮廓系数(Silhouette Coefficient )

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

轮廓系数（Silhouette Coefficient）是一种常用的评估聚类分析效果的指标，它能够帮助我们确定数据点是否被正确地分配到了相应的簇（cluster）中。轮廓系数同时考虑了簇内部的紧凑性和簇间的分离性，因此是一个综合性的评价标准。

轮廓系数的计算公式：

S ( i ) = b ( i ) − a ( i ) max ⁡ { a ( i ) , b ( i ) } S(i) = \frac{b(i) – a(i)}{\max\{a(i), b(i)\}} S(i)=max{
a(i),b(i)}b(i)−a(i)​

$$s(i)=\{\begin{array}{ll}1-\frac{\mathrm{a}(\mathrm{i})}{\mathrm{b}(\mathrm{i})},& a(i)<b(i)\\ 0,& a(i)=b(i)\\ \frac{\mathrm{b}(\mathrm{i})}{\mathrm{a}(\mathrm{i})}-1,& a(i)>b(i)\end{array}$$

其中：

• $S(i)$ 是第 $i$ 个数据点的轮廓系数。
• $a(i)$ 表示第 $i$ 个数据点与其所属簇中其他数据点的平均距离，反映簇的紧凑性（Cohesion）。这通常被称为“内聚度”。
• $b(i)$ 表示第 $i$ 个数据点与非所属簇中最近簇的数据点的平均距离，反映簇间的分离性（Separation）。这通常被称为“分离度”。

详细解释：

• $a(i)$: 这是样本点 $i$ 到同一簇中所有其他样本点的距离之和 除以 这些样本点的数量。它衡量了点 $i$ 在其簇内的“舒适度”，数值越小表明 $i$ 与簇内的其他点越接近，簇越紧凑。
• $b(i)$: 这是样本点 $i$ 到最近的其他簇中所有样本点的平均距离。它衡量了点 $i$ 与最邻近的其他簇的距离，数值越大表明 $i$ 与其它簇中的点相距较远，簇间的分离度越高。
• max ⁡ { a ( i ) , b ( i ) } \max\{a(i), b(i)\} max{
  a(i),b(i)}: 这是 $a(i)$ 和 $b(i)$ 中较大的值，作为分母确保轮廓系数的值域在 [-1, 1] 之间。当 $b(i)>a(i)$，表示样本点更接近于自己的簇，轮廓系数倾向于正数；反之，如果 $a(i)>b(i)$，则表示样本点可能被错误分类，轮廓系数倾向于负数。

轮廓系数的取值范围和解释：

• 当轮廓系数接近 1 时，这意味着 $b(i)$ 远大于 $a(i)$，即数据点 $i$ 在其所属簇内紧密，与其他簇分离良好。
• 当轮廓系数接近 0 时，这意味着 $a(i)$ 接近于 $b(i)$，数据点 $i$ 在簇边界，或簇内点间距离与簇间距离相当。
• 当轮廓系数接近 -1 时，这意味着 $a(i)$ 远大于 $b(i)$，数据点 $i$ 可能被错误地分配给了错误的簇。

为了评估整个聚类的效果，通常会计算所有数据点轮廓系数的平均值，这个平均值就作为整个聚类分析的轮廓系数。较高的平均轮廓系数意味着聚类效果较好。