基本三角函数

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基本三角函数

1. 正弦（Sine）：
   • 定义：正弦值是直角三角形中任意角的对边与斜边的比值。
   • 公式：
     $$\sin (\theta )=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$$
   • 单位：弧度（radians）
   • 周期性：
     $$\sin (\theta )=\sin (\theta +2\pi )$$
   • 值域：[ [-1, 1] ]
2. 余弦（Cosine）：
   • 定义：余弦值是直角三角形中任意角的邻边与斜边的比值。
   • 公式：
     $$\cos (\theta )=\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$$
   • 单位：弧度（radians）
   • 周期性：
     $$\cos (\theta )=\cos (\theta +2\pi )$$
   • 值域：[ [-1, 1] ]
3. 正切（Tangent）：
   • 定义：正切值是直角三角形中任意角的对边与邻边的比值。
   • 公式：
     $$\tan (\theta )=\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$$
   • 单位：弧度（radians）
   • 周期性：
     $$\tan (\theta )=\tan (\theta +\pi )$$
   • 值域：
     $$(-\infty ,\infty )$$
4. 余切（Cotangent）：
   • 定义：余切值是直角三角形中任意角的邻边与对边的比值。
   • 公式：
     $$\cot (\theta )=\frac{\text{邻边}}{\text{对边}}$$
   • 单位：弧度（radians）
   • 周期性：
     $$\cot (\theta )=\cot (\theta +\pi )$$
   • 值域：
     $$(-\infty ,\infty )$$
5. 正割（Secant）：
   • 定义：正割值是直角三角形中任意角的斜边与邻边的比值。
   • 公式：
     $$\sec (\theta )=\frac{\text{斜边}}{\text{邻边}}$$
   • 单位：弧度（radians）
   • 周期性：
     $$\sec (\theta )=\sec (\theta +2\pi )$$
   • 值域：
     $$[1,\infty )$$
6. 余割（Cosecant）：
   • 定义：余割值是直角三角形中任意角的斜边与对边的比值。
   • 公式：
     $$\csc (\theta )=\frac{\text{斜边}}{\text{对边}}$$
   • 单位：弧度（radians）
   • 周期性：
     $$\csc (\theta )=\csc (\theta +2\pi )$$
   • 值域：
     $$[1,\infty )$$

基本定理

要计算三角形的余弦值，我们首先需要了解三角形的类型。余弦值通常用于计算角度，但在三角形的背景下，它更常用于计算边长之间的关系。在三角形中，余弦值可以通过以下几种方式计算：

1. 余弦定理：
   余弦定理用于计算三角形中一个角的余弦值，已知该角和另外两边的长度。公式如下：
   $$\cos (\theta )=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

   其中 a, b, c 是三角形的边长，θ是夹角 c 和边 a, b 之间的角。

2. 正弦定理：
   正弦定理用于计算三角形中一个角的正弦值，已知该角和另外两边的长度。公式如下：
   $$\sin (\theta )=\frac{a}{2R}$$

   其中 a 是边长，R 是三角形的外接圆半径。

3. 海伦公式：
   海伦公式用于计算三角形的面积，已知三边长度。公式如下：
   $$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

   其中 a, b, c 是三角形的边长，s 是半周长
   $$s=\frac{a+b+c}{2}$$

   如果你有三个边长和对应的角度，你可以使用余弦定理来计算任意一个角的余弦值。例如，如果你知道边 a 和 b 的长度，以及夹角 θ 的度数，你可以使用以下公式：
   $$\cos (\theta )=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

   其中 ( c ) 是第三边的长度。
   请注意，如果 a^2 + b^2 < c^2 ，则 θ 是钝角，余弦值为负。如果 a^2 + b^2 > c^2 ，则 θ 是锐角，余弦值为正。如果 a^2 + b^2 = c^2 ，则 θ 是直角，余弦值为0。
   现在，如果你有三个边长和对应的角度，你可以使用上述公式来计算余弦值。如果你需要帮助计算，请提供具体的边长和角度值。

基本公式

基本公式：

• 平方关系：
  $$si{n}^2(\alpha )+co{s}^2(\alpha )=1$$
• 商的关系：
  $$tan(\alpha )=\frac{sin(\alpha )}{cos(\alpha )}$$

诱导公式：

• 奇偶性：
  $$sin(-\alpha )=-sin\alpha ,cos(-\alpha )=cos\alpha ,tan(-\alpha )=-tan\alpha$$
• 角度加减：
  $$sin(\alpha +\beta )=sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta ,cos(\alpha +\beta )=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta$$

特殊公式：

• 倍角公式：
  $$sin2A=2sinAcosA$$

  $$cos2A=co{s}^2(A)-si{n}^2(A)$$

  $$\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$$

• 半角公式：
  $$\sin \frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}$$

  $$\cos \frac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta }{2}}$$

  $$\tan \frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }$$

atan2函数

atan2 和 tan 是两个在数学中常用的三角函数，它们用于计算角度的值，但它们之间有一些区别。

1. atan2（也称为 arctan2 或 atan2d）：
   • atan2 函数接受两个参数，通常表示为 atan2(y, x)。
   • 它返回的是从正x轴到点 (x, y) 的向量与正x轴之间的角度。
   • 返回的角度是弧度制的，并且其值域是 (-π, π]。
   • atan2 考虑了点的x和y坐标，因此可以确定角度所在的象限。
2. tan（也称为 tan 或 tanh）：
   • tan 函数接受一个参数，通常表示为 tan(θ) 或 tanh(θ)，其中 tanh 是双曲正切函数，与正切函数不同。
   • 它返回的是角度的正切值，即直角三角形中对边与邻边的比值。
   • 返回的角度是弧度制的，并且其值域是 (-∞, ∞)。
   • tan 函数不考虑角度所在的象限，因此它返回的角度值可能超出 atan2 的值域。
     在实际应用中，atan2 函数更常用于确定一个点在二维空间中的方向，因为它可以正确处理 x = 0 的情况，而 tan 函数在 x = 0 时是不定义的。因此，当需要确定一个向量或点在二维空间中的方向时，通常使用 atan2 函数。