数据的离散程度的衡量方式

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1. 常用数据离散度的方式

1.1 极差

极差为数据样本中的最大值与最小值的差值
$R=max(i)-min(i)$，

• 它反应了数据样本的数值范围，是最基本的衡量数据离散程度的方式，
• 是所有方式中最为简单的一种, 但受极值影响较大。

如在数学考试中，一个班学生得分的极差为60，放映了学习最好的学生与学习最差的学生得分差距为60.

1.2 四分位差

即数据样本的上四分之一位和下四分之一位的差值
$Q_d=Q_u-Q_l$，

• 反应了数据中间50%部分的离散程度，
• 其数值越小表明数据越集中，数值越大表明数据越离散，
• 同时由于中位数位于四分位数之间，故四分位差也放映出中位数对于数据样本的代表程度，越小代表程度越高，越大代表程度越低。

1.3 平均差

• 各变量值与平均值的差的绝对值之和除以总数n，

即
$$M_d=\frac{{\sum }_n^{i=1}\left|x_n-\bar{x}\right|}{n}，$$

针对分组数据为:
$$M_d=\frac{{\sum }_n^{i=1}\left|x_n-\bar{x}\right|f_i}{n}$$

• 平均差以平均数为中心，能全面准确的反应一组数据的离散状况，平均差越大，说明数据离散程度越大，反之，离散程度越小。

1.4 方差/标准差

方差是各变量与平均值的差的平方和除以总数n-1，

$$s^2=\frac{{\sum }_n^{i=1}(x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}$$

针对分组数据

$$s^2=\frac{{\sum }_n^{i=1}(x_i-\bar{x}{)}^2{f}_i}{n-1}$$，

方差开根号后为标准差，方差与标准差都能很好的反应数据的离散程度。

1.5 异众比率

众数是一组数据中出现次数最多的值，

例如，在一组数据：1，2，3，3，4，5中，出现次数最多的是 3，所以3就是众数。

而众数则反映的是局部特征——一组样本从整体上来讲，围绕在哪个数值周围, 在哪里最密集。

• 异众比率，衡量众数对一组数据的代表程度。

是指非众数的次数与全部变量值总次数的比率，　即除去众数之外，另外一部分变量值在总体中的比重。

$$V_r=\frac{\sum f_i-f_m}{\sum f_i}=1-\frac{f_m}{\sum f_i}$$,

其中$\sum f_i$ 为变量值的总频数，$f_m$ 为众数组的频数。

• 异种比率越大，说明非众数组的频数占总频数的比重越大，众数的代表性越差。
• 异种比率越小，说明非众数组的频数占总频数的比重越小，　说明众数的代表性越好。
• 异种比率主要适合度量分类数据的离散程度，当然连续数据可以计算异种比率。

1.6 离散系数

即变异系数，变异系数（Coefficient of Variation）:

当需要比较两组数据离散程度大小的时候，如果两组数据的测量尺度相差太大，或者数据量纲不同，

而变异系数可以做到这一点，它是原始数据标准差与原始数据平均数的对比。
$V_i=\frac{s}{\bar{x}}$ 。

• CV没有量纲，这样就可以进行客观比较了。事实上，可以认为变异系数和极差，标准差和方差一样，都是反映数据离散程度的绝对值。其数据大小不仅受变量值离散程度的影响，而且还受变量值平均水平大小的影响。
• 针对不同数据样本的标准差和方差，因数据衡量单位不同,其结果自然无法直接进行对比.
• 为出具一个相同的衡量指标，则进行了离散系数的计算。
• 离散系数为一组数据的标准差与平均数之比

1.7 中位数

将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，

• 如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数（median)；
• 如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。

当中位数比平均数大时，说明超过半数的数据大于平均值，整体被少数数据拉低了，大部分的数值是比较大的。

当中位数比平均数小时，说明超过一半数据的数值小于平均值，整体被少数数据拉高了，大部分的数值是比较低的。

2. 参考代码

import numpy as np import stats as sts scores = [31, 24, 23, 25, 14, 25, 13, 12, 14, 23, 32, 34, 43, 41, 21, 23, 26, 26, 34, 42, 43, 25, 24, 23, 24, 44, 23, 14, 52,32, 42, 44, 35, 28, 17, 21, 32, 42, 12, 34] #集中趋势的度量 print('求和：',np.sum(scores)) print('个数：',len(scores)) print('平均值:',np.mean(scores)) print('中位数:',np.median(scores)) print('众数:',sts.mode(scores)) print('上四分位数',sts.quantile(scores,p=0.25)) print('下四分位数',sts.quantile(scores,p=0.75)) #离散趋势的度量 print('最大值:',np.max(scores)) print('最小值:',np.min(scores)) print('极差:',np.max(scores)-np.min(scores)) print('四分位差',sts.quantile(scores,p=0.75)-sts.quantile(scores,p=0.25)) print('标准差:',np.std(scores)) print('样本标准差:',np.std(scores, ddof=1)) print('方差:',np.var(scores)) print('离散系数:',np.std(scores)/np.mean(scores)) print('众数:',sts.mode(scores)[0][0]) #偏度与峰度的度量 print('偏度:',sts.skewness(scores)) print('峰度:',sts.kurtosis(scores))</span>