模态逻辑（3）—— 模态逻辑的系统

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模态逻辑模型

  模态逻辑的模型由一个三元组表示：$$M=<W,R,V>$$ 其中，$W$ 表示可能世界 (Possible world) 的集合；$R$ 表示可能世界之间的关系，$wR{w}^{\prime }$ 表示从可能世界 $w$ 可以到达可能世界 $w^{\prime }$；$V$ 表示赋值函数的集合，如果命题变量 $p$ 在世界 $w$ 中被赋值为 1（真），则写为 $V(p,w)=1$。 对于上述模型，满足下述条件：

1. 对于任何命题变量 $p$ 和 $\forall w\in W$，$V(p,w)=1$ 或 $V(p,w)=0$（$V$ 只有 0 或 1 两种赋值）；
2. $[V\neg ]$ 对于任何合式公式 $\alpha$ 和 $\forall w\in W$，如果 $V(\alpha ,w)=0$，则 $V(\neg \alpha ,w)=1$，否则 $V(\neg \alpha ,w)=0$；
3. $[V\vee ]$ 对于任何合式公式 $\alpha$、$\beta$ 和 $\forall w\in W$，如果 $V(\alpha ,w)=1$ 或 $V(\beta ,w)=1$，则 $V((\alpha \vee \beta ),w)=1$，否则 $V((\alpha \vee \beta ),w)=0$；（对于符号 $\wedge ,\supset ,\equiv$ 有类似的表述，按真值表来就行，不写了）
4. $[VL]$ 对于任何合式公式 $\alpha$ 和 $\forall w,w^{\prime }\in W$，如果所有从 $w$ 可以到达的 $w^{\prime }$ ($wR{w}^{\prime }$) 中都有 $V(\alpha ,w^{\prime })=1$，则 $V(L\alpha ,w)=1$，否则 $V(L\alpha ,w)=0$；
5. $[VM]$ 对于任何合式公式 $\alpha$ 和 $\forall w,w^{\prime }\in W$，如果至少有一个从 $w$ 可以到达的 $w^{\prime }$ ($wR{w}^{\prime }$) 中有 $V(\alpha ,w^{\prime })=1$，则 $V(M\alpha ,w)=1$，否则 $V(M\alpha ,w)=0$。

上述条件中的 4、5 对应了上一篇博文中最后一张图片中的 (c) 项，用公式可以写成：$$V(L\alpha ,w)=T\iff (\forall w^{\prime })(wR{w}^{\prime }\supset V(\alpha ,w^{\prime })=T)$$ $$V(M\alpha ,w)=T\iff (\exists w^{\prime })(wR{w}^{\prime }\wedge V(\alpha ,w^{\prime })=T)$$

  模型 $M=<W,R,V>$ 中，$R$ 表是的关系不同（比如，是否有反身性，是否有 $w$ 无法到达其他 $w^{\prime }$等），构成了不同的模态逻辑系统。现在再定义一次 wff 正确性 (Validity)：在某一模态逻辑系统的所有 $M=<W,R,V>$中，都有 $V(\alpha ,w)=1,\forall w\in W$，则合式公式 $\alpha$ 在该系统内是正确的 (valid)。

模态逻辑系统 (System)

  模态逻辑系统的公理基础包括：

1. 一个特定的表述命题的语言，即合式公式 (wff)；
2. 一个被称为公理 (Axiom) 的 wff 集合，这些 wff 对于该系统来说都是正确的 (valid)；
3. 一个转换规则 (Transformation rule) 集合，转换规则可以作用于公理和先由转换规则作用于公理得到的 wff，得到的新的 wff 和原来的公理一起统称为定理 (Theorem)。

System K

  系统 K 是模态逻辑中最基本最简单的系统，在系统 K 中正确的合式命题，在其他任何系统中都是正确的。系统 K 的公理包括：

1. PC: \quad 命题逻辑 (PC) 中所有正确的 (valid) wff；
2. K: $L(p\supset q)\supset (Lp\subset Lq)$。

上述第二条公理 K 是用反证法推导的：如果 K 是不正确的 (not valid)，则必须在一个可能世界中要同时满足$L(p\supset q)$ 为真且$Lp$ 为真且$Lq$ 为假，然而这肯定是不能成立的。
  系统 K 有三条转换规则：系统 K 还有很多定理，下图是一个推导定理的过程（其中与 PC 有关的条件看博文模态逻辑入门笔记（1）最后一张图片）：