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模态逻辑模型
模态逻辑的模型由一个三元组表示： M = < W , R , V > M=<W,R,V> M=<W,R,V> 其中， W W W 表示可能世界 (Possible world) 的集合； R R R 表示可能世界之间的关系， w R w ′ wRw’ wRw′ 表示从可能世界 w w w 可以到达可能世界 w ′ w’ w′； V V V 表示赋值函数的集合，如果命题变量 p p p 在世界 w w w 中被赋值为 1（真），则写为 V ( p , w ) = 1 V(p,w)=1 V(p,w)=1。 对于上述模型，满足下述条件：
- 对于任何命题变量 p p p 和 ∀ w ∈ W \forall w\in W ∀w∈W， V ( p , w ) = 1 V(p,w)=1 V(p,w)=1 或 V ( p , w ) = 0 V(p,w)=0 V(p,w)=0（ V V V 只有 0 或 1 两种赋值）；
- [ V ¬ ] [V\neg] [V¬] 对于任何合式公式 α \alpha α 和 ∀ w ∈ W \forall w\in W ∀w∈W，如果 V ( α , w ) = 0 V(\alpha,w)=0 V(α,w)=0，则 V ( ¬ α , w ) = 1 V(\neg\alpha,w)=1 V(¬α,w)=1，否则 V ( ¬ α , w ) = 0 V(\neg\alpha,w)=0 V(¬α,w)=0；
- [ V ∨ ] [V\vee] [V∨] 对于任何合式公式 α \alpha α、 β \beta β 和 ∀ w ∈ W \forall w\in W ∀w∈W，如果 V ( α , w ) = 1 V(\alpha,w)=1 V(α,w)=1 或 V ( β , w ) = 1 V(\beta,w)=1 V(β,w)=1，则 V ( ( α ∨ β ) , w ) = 1 V((\alpha\vee\beta),w)=1 V((α∨β),w)=1，否则 V ( ( α ∨ β ) , w ) = 0 V((\alpha\vee\beta),w)=0 V((α∨β),w)=0；（对于符号 ∧ , ⊃ , ≡ \wedge,\supset,\equiv ∧,⊃,≡ 有类似的表述，按真值表来就行，不写了）
- [ V L ] [VL] [VL] 对于任何合式公式 α \alpha α 和 ∀ w , w ′ ∈ W \forall w,w’\in W ∀w,w′∈W，如果所有从 w w w 可以到达的 w ′ w’ w′ ( w R w ′ wRw’ wRw′) 中都有 V ( α , w ′ ) = 1 V(\alpha,w’)=1 V(α,w′)=1，则 V ( L α , w ) = 1 V(L\alpha,w)=1 V(Lα,w)=1，否则 V ( L α , w ) = 0 V(L\alpha,w)=0 V(Lα,w)=0；
- [ V M ] [VM] [VM] 对于任何合式公式 α \alpha α 和 ∀ w , w ′ ∈ W \forall w,w’\in W ∀w,w′∈W，如果至少有一个从 w w w 可以到达的 w ′ w’ w′ ( w R w ′ wRw’ wRw′) 中有 V ( α , w ′ ) = 1 V(\alpha,w’)=1 V(α,w′)=1，则 V ( M α , w ) = 1 V(M\alpha,w)=1 V(Mα,w)=1，否则 V ( M α , w ) = 0 V(M\alpha,w)=0 V(Mα,w)=0。
上述条件中的 4、5 对应了上一篇博文中最后一张图片中的 (c) 项，用公式可以写成： V ( L α , w ) = T ⇔ ( ∀ w ′ ) ( w R w ′ ⊃ V ( α , w ′ ) = T ) V(L\alpha,w)=T\Leftrightarrow(\forall w’)(wRw’\supset V(\alpha,w’)=T) V(Lα,w)=T⇔(∀w′)(wRw′⊃V(α,w′)=T) V ( M α , w ) = T ⇔ ( ∃ w ′ ) ( w R w ′ ∧ V ( α , w ′ ) = T ) V(M\alpha,w)=T\Leftrightarrow(\exist w’)(wRw’\wedge V(\alpha,w’)=T) V(Mα,w)=T⇔(∃w′)(wRw′∧V(α,w′)=T)
模型 M = < W , R , V > M=<W,R,V> M=<W,R,V> 中， R R R 表是的关系不同（比如，是否有反身性，是否有 w w w 无法到达其他 w ′ w’ w′等），构成了不同的模态逻辑系统。现在再定义一次 wff 正确性 (Validity)：在某一模态逻辑系统的所有 M = < W , R , V > M=<W,R,V> M=<W,R,V>中，都有 V ( α , w ) = 1 , ∀ w ∈ W V(\alpha,w)=1,\forall w\in W V(α,w)=1,∀w∈W，则合式公式 α \alpha α 在该系统内是正确的 (valid)。
模态逻辑系统 (System)
模态逻辑系统的公理基础包括：
- 一个特定的表述命题的语言，即合式公式 (wff)；
- 一个被称为公理 (Axiom) 的 wff 集合，这些 wff 对于该系统来说都是正确的 (valid)；
- 一个转换规则 (Transformation rule) 集合，转换规则可以作用于公理和先由转换规则作用于公理得到的 wff，得到的新的 wff 和原来的公理一起统称为定理 (Theorem)。
System K
系统 K 是模态逻辑中最基本最简单的系统，在系统 K 中正确的合式命题，在其他任何系统中都是正确的。系统 K 的公理包括：
- PC: \quad 命题逻辑 (PC) 中所有正确的 (valid) wff；
- K: L ( p ⊃ q ) ⊃ ( L p ⊂ L q ) \;\quad L(p\supset q)\supset(Lp\subset Lq) L(p⊃q)⊃(Lp⊂Lq)。
上述第二条公理 K 是用反证法推导的：如果 K 是不正确的 (not valid)，则必须在一个可能世界中要同时满足 L ( p ⊃ q ) L(p\supset q) L(p⊃q) 为真且 L p Lp Lp 为真且 L q Lq Lq 为假，然而这肯定是不能成立的。
系统 K 有三条转换规则：
系统 K 还有很多定理，下图是一个推导定理的过程（其中与 PC 有关的条件看博文模态逻辑入门笔记（1）最后一张图片）：
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