基于概率模型的聚类

基于概率模型的聚类

　　我们之所以在数据集上进行聚类分析，是因为我们假定数据集中的对象属于不同的固有类别。即聚类分析的目的就是发现隐藏的类别。
　　从统计学上讲，我们可以假定隐藏的类别是数据空间的一个分布，可以使用不同的概率密度函数（或者分布函数）进行精确的表示。我们称这种隐藏的类别为概率簇。对于一个概率簇C，它的密度函数f和数据空间的点o, f(o)是C的一个实例在o上出现的相对似然。
　　假设我们想通过聚类分析找出K个聚类簇C1，C2..C k。对于n个对象的数据集D，我们可以把D看做这些簇的可能实例的一个有限样本。从概念上讲，我们可以 假定D按如下方法形成。每个簇Cj（1<=j<=k）都与一个实例从该簇抽烟的概率Wj相关联。通常假定W1,W2…Wk作为问题设置的一部分给定，并且W1+W2+…+Wk=1，确保所有对象都有这K个簇产生。其实说白了就是：数据集D被认为是由这K个簇产生的，有了这一个前提之后，基于概率模型的聚类分析的任务是推导出最可能产生数据集D的K个聚类簇。接下来就是度量K个聚类簇的集合和它们的概率产生观测数据集的似然。
　　我们假定每个对象是独立的产生的，因此对于数据集D={O1,O2,O3…}，我们有：

　　现在的主要任务是，找出K个聚类簇的集合C，使得P（D|C）最大化。但是最大化通常是难以处理的，因为通常来说，簇的概率密度函数可以取任意复杂的形式。为了使得基于概率模型的聚类是计算可行的，我们通常假定概率密度函数是一个参数分布。
设是K个簇的分布的参数。那么上式可以改写成：

  　　Pj为簇Cj的概率密度函数。
　　使用参数概率分布模型，基于概率模型的聚类任务是推导出最大化的参数集。
　　总结：基于概率模型的聚类就是进行参数估计，找出K个簇的参数集合来使得似然函数最大。

 　　如何计算我们上篇博文提到的模糊聚类以及现在的基于概率模型的聚类？

 在这里介绍一种参数估计算法EM算法，EM算法用于含有隐变量的极大似然估计和最大后验概率估计。对于EM算法，会在以后的博文中单独重点的学习一下。