高等数学 微分

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一、定义

1、概念

        若函数y=f(x)在点x处有导数f'(x)存在，则y因x的变化量△x所引起的改变量 : △y=f(x+△x)-f(x)，可获得 △y=f'(x)·△x+o(△x) ， 其中 o(△x) 是△x 的高阶无穷小，即当△x趋于0时，o(△x)相对于△x趋于0的速度更快。

        微分表示：  dy=f'(x)△x

2、是否可微

函数 f(x) 在点 x=a 处可微的充要条件是：

1. 函数在点 x=a处连续
2. 函数在点 x=a 处左右导数存在且相等

简单来说，就是可微的充要条件是函数 f(x) 在点 x=a 处可导。

二、微分法则

        dy=f'(x) dx  可知，求微分实际上就是求导数，所以微分公式同求导公式。

三、微分中值定理

1、罗尔定理

如果函数 f(x)满足以下条件：

1. 在闭区间 [a,b]上连续。
2. 在开区间 (a,b)上可导。
3. 在区间端点的函数值相等，即 f(a)=f(b)。

那么，在开区间 (a,b)内至少存在一点 c，使得：f′(c)=0

2、拉格朗日中值定理

如果函数 f(x)满足以下条件：

1. 在闭区间 [a,b] 上连续。
2. 在开区间 (a,b)上可导。

那么，在开区间 (a,b) 内至少存在一点 c，使得： f′(c)= f(b)−f(a) / （b−a）

拉格朗日中值定理的几何意义是：在区间 [a,b] 上，函数 f(x) 的图像上至少存在一点 c，使得该点处的切线斜率等于区间端点法线的斜率。

3、柯西中值定理

如果函数 f(x) 和 g(x) 满足以下条件：

1. 在闭区间 [a,b]上连续。
2. 在开区间 (a,b)上可导。
3. 在开区间 (a,b) 内，g′(x)≠0。

那么，在开区间 (a,b) 内至少存在一点 c，使得：f′(c)/g′(c)=f(b)−f(a)/（g(b)−g(a)）

4、洛必达法则

        洛必达法则用于求解不定型极限问题，分子和分母都趋向于零（即 0/0 型）或分子和分母都趋向于无穷大（即 ∞/∞ 型）的情况。洛必达法则通过求导数来简化这些极限的计算。

四、函数的单调性

1、递增

        如果函数 f(x) 在区间 (a,b) 上可导，并且对于区间 (a,b) 内的任意 x，总有 f′(x) ≥ 0，则函数 f(x) 在区间 (a,b) 上是递增的。如果 f′(x)>0，则函数 f(x)在区间 (a,b) 上是严格递增的。

2、递减

        如果函数 f(x)在区间 (a,b) 上可导，并且对于区间 (a,b) 内的任意 x，总有 f′(x) ≤ 0，则函数 f(x) 在区间 (a,b) 上是递减的。如果 f′(x) < 0，则函数 f(x) 在区间 (a,b)上是严格递减的。

五、函数的凹凸性

1、凹函数

        如果函数 f(x) 在区间 (a,b) 上二阶可导，并且对于区间 (a,b) 内的任意 x，总有 f′′(x) ≥ 0，则函数 f(x) 在区间 (a,b) 上是凹的。

2、凸函数

        如果函数 f(x) 在区间 (a,b) 上二阶可导，并且对于区间 (a,b) 内的任意 x，总有 f′′(x) ≤ 0，则函数 f(x) 在区间 (a,b) 上是凸的。

3、拐点

        拐点是函数图像从凹变凸或从凸变凹的点。对于函数 f(x)，如果 f′′(x)=0 且 f′′(x) 在 x 的两侧符号相反，则 x 是函数的拐点。

 六、极值

1、极值 

        其定义域内的某个局部区间内的最大值或最小值。极值分为局部极大值和局部极小值。如果存在一个区间 (a,b)，使得对于所有 x∈(a,b)，总有 f(x) ≤ f(c)，则称 f(c)是函数 f(x) 在点 c 处的局部极大值。

2、最值

        最值是指函数在其整个定义域内的最大值和最小值。最值分为全局最大值和全局最小值。

3、充分必要条件

        必要条件：如果函数 f(x) 在点 x=c 处取得局部极大值或局部极小值，并且 f(x) 在 x=c处可导，则 f′(c)=0。换句话说，极值点必须是函数的驻点。

        充分条件：一阶导数：在某点左右两侧的一阶导数符号相异（即一正一负），则该点为局部极大值或局部极小值

                          二阶导数：某点 一阶导数 等于零， 且二阶导数小于零，则为局部极大值，二阶导数大于零，为局部极小值