三维空间角速度、线速度表示及推导（旋转矩阵求导）（李群李代数引入）

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三维空间角速度、线速度表示及推导（旋转矩阵求导）（李群李代数引入）

角速度

首先，假设一个刚体处于一个世界坐标系中，规定如下坐标系：

• 刚体的坐标系：b
• 世界坐标系： s

然后，指定一个旋转轴以及旋转角度，使刚体绕着旋转轴旋转指定角度：

其中符号说明：

当 Δt 趋近于 0 的时候， 旋转角度的导数（角度变化率）为：

此时可以定义角速度为：

其中：

• $\hat{w}$：表示旋转轴的单位向量（可以理解为定义方向）
• $\dot{\theta }$：表示角速度大小

线速度

根据下图，可以推出刚体坐标系各个轴的旋转线速度：

在刚体坐标系绕着旋转向量 $\vec{w}$ 旋转的时候，可以计算出刚体的 $\hat{y}$ 轴的旋转线速度如下：

• 线速度方向：与 $\hat{y}$ 轴旋转路径相切，即垂直于 $\vec{w}$ 与 $\hat{y}$ 所在平面（$\vec{w}$ 与 $\hat{y}$ 叉乘满足这个条件）
• 线速度的大小：线速度大小等于角速度乘以半径，半径正好可以用叉乘表示，推导如下：
  
  而 $\vec{w}$ 与 $\hat{y}$ 叉乘的大小正好与上边的结果相等：
  

因为 $\vec{w}$ x $\hat{y}$ 的大小与方向都与 $\hat{y}$ 的线速度相同，所以可以推出：

同理，可以推出其他轴方向的线速度：

矩阵导数

记 R(t) 为 t 时刻 刚体坐标系（b）相对与世界坐标系（s）的旋转方向，$\dot{R(t)}$ 记作这个方向的时间变化率（R 的导数），R(t) 的第一列记作 r₁(t)，表示的是 $\hat{x}$ = （1，0，0）在世界坐标系中的位置，同样标记第二列第三列为 r₂(t)，r₃(t)，分别表示 $\hat{y}$、$\hat{z}$ 在世界坐标系中的位置，在某一时刻，设 $\vec{w}$_s 是角速度在世界坐标系下的表示，那么（对应上面刚刚得到的各个轴线速度的公式）：

$\dot{r}$₁ = $\vec{w}$_s x r₁
$\dot{r}$₂ = $\vec{w}$_s x r₂
$\dot{r}$₃ = $\vec{w}$_s x r₃

得到矩阵导数的形式如下：

$\dot{R}$ = [ $\vec{w}$_s x r₁   $\vec{w}$_s x r₂   $\vec{w}$_s x r₃] = $\vec{w}$_s x R

这里，$\vec{w}$_s 的叉乘可以写成矩阵的形式：

其中：

$\vec{w}$_s 形成的这种矩阵是反对称矩阵（skew-symmetric matrix）

反对称矩阵

定义向量：

对应的反对称矩阵为：

符合斜对称且符号相反的性质：

实数的反对称矩阵对应李群李代数中的：

参考

1. 《 MODERN ROBOTICS MECHANICS, PLANNING, AND CONTROL 》