【算法】图 (5) 强连通图

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如何判断一个图是强连通图？

强连通图（strongly connected）：在一个图中，任意两点x,y，都可以互相到达（可以借助其他点作为中转）；

1 简单方法

对每个结点进行DFS或者BFS搜索，如果每次搜索的结果，使得每个点的state都标记为“Processed”，则表示该图为强连通图，时间复杂度为，其中是DFS的时间复杂度；

2 通过hub来判断强连通图

先验知识：

2.1 图的转置

图中所有的点不变，但是所有的边的方向都反向

输入样例：

graph_string = """\
D 3 W
0 1 7
1 0 -2
0 2 0
"""

转换为邻接表：

代码：

def transpose(graph_adj_list):
    ans = [[] for i in range(len(graph_adj_list))]
    for i, edges in enumerate(graph_adj_list):
        for edge in edges:# i mean index, edge mean every edge in edges
            start = i
            end = edge[0]
            tup = (start, edge[1])
            ans[end].append(tup)
    return ans            

graph_string = """\
D 3 W
0 1 7
1 0 -2
0 2 0
"""

graph_adj_list = adjacency_list(graph_string)
print(graph_adj_list)
graph_transposed_adj_list = transpose(graph_adj_list)
for i in range(len(graph_transposed_adj_list)):
    print(i, sorted(graph_transposed_adj_list[i]))

2.2 Hub (中心）

一个点h为hub的条件：(a) h可以到达图中的所有点，(b) 图中的所有点可以到达h。

• 如果一个图中存在一个hub h，那么该图就为强连通图；？
• 因为图中的任意两个点都可以通过hub h进行中转，所以该图中任意两个点都互联。
• 另外的，如果该图中所有的点都可以通过该hub h进行中转而相连，也就表示该图中的所有点都为hub。

2.3 判断强连通图

根据上述定义，判断强连通图的步骤为：

1. 在图G上任意选择一点h，进行DFS或者BFS搜索；
2. 如果图G上存在一个点为“Undiscovered”，则返回False；
3. 构建图G的转置图G‘
4. 在G’上选择相同的点h，进行DFS或者BFS搜索；
5. 如果图G’上存在一个点为“Undiscovered”，则返回False；
6. 否则就返回True；

将图转置，即将所有的边反向，在1中进行搜索，保证了条件(a)；转之后，在4中再次进行搜索，保证了条件(b)；最后如果两次搜索都没有点‘Undiscovered’，则表示点h为hub，则由对hub的结论可知，该图为强连通图；

def is_strongly_connected(adj_list):
    state1 = dfs_tree(adj_list, 0)  #step 1  
    for state in state1:     
        if state != 'P':
            return False            #step 2
    adj_list1 = transpose(adj_list) #step 3    
    state2 = dfs_tree(adj_list1, 0) #step 4
    for state in state2:     
        if state != 'P':
            return False            #step 5
    return True                     #step 6

该算法的时间复杂度为