物理学胡思乱想之库仑力和万有引力定律胡乱推导

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By: fulinux
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引言

这个是万有引力定律公式：
$$F=G\frac{m1m2}{r^2}$$

这个是电荷库仑力定律公式
$$F=k\frac{qp}{r^2}$$
何其相似，重点都是距离平方反比，怎么解释这一现象呢？

模型抽象

以库仑定律为例，下面构建一个简单的模型，如下图所示：

两个电荷p和q分别位于图中的A、B两点，距离为r。

电场强度

电荷和电荷之间的作用力是通过电场产生的静电力，如下示意图(自己画的哈)：

上图中实线为电力线，虚线为等势球面。
电场是一种物质，但是与其他实物不同，几个电场可以同时占有同一空间，所以电场是一种特殊的物质。
(1)处于电场中的任何带电体都受到电场所作用的力；
(2)带电体在电场中移动时，电场所作用的力将对带电体做功；

从客体电荷q的受力角度看场强

电荷p产生的电场中任意一点处电场的性质，可以从电荷在电场中受力的特点来定量描述。用电量很小的电荷q作为试验电荷，当试验电荷q放在电场中一给定点处时，它受到的电场力的大小和方向是一定的；放在电场中的不同点处，其受到的电场力的大小和方向一般情况下是不同的。试验电荷q放在p电场中一固定点B处(距离A点直线距离为r)，当q的电量改变时它受到的力的方向不变，但力的大小随电量的改变而改变。始终保持力F和q的比值F/q为一恒定矢量。因此，F/q反映了q所在点处电场的性质，称为电场强度。用E表示，即
$$E\text{E}E=\frac{F\text{F}F}{q}$$
单位是牛顿每库仑（N/C）。
反之，电场B点处引力F与试验电荷q成正比，此时场强为定值
$$F\text{F}F=E\text{E}Eq$$
$$F\text{F}F\propto q$$
这是从客体q角度得出来场强的概念，下面我会从主体p角度来看场强。

从主体电荷p看场强

上面这个公式是现如今经典的场强E的定义公式，但是它是从试验电荷q的角度来推导电荷p电场中某点的场强，忽略了试验电荷q电场对整体电场的影响，而没有将电荷p自身的电荷和B点位置关系体现出来。

本质上这里描述的E是电荷p和电荷q共同作用的复合场强。

当然在不借助电荷q的情况下，我们无法知道电荷p电场在B处的场强，更加不知道此处的受力情况。因此从认知角度来看引入试验电荷q是个很明智的举措。

B点场强E与p电量成正比

在B点处的场强会随着电荷p的电荷量增长而增长，成正比关系，即
$$E\text{E}E\propto p$$

B点场强E与距离r的关系

p电荷所在的A点与B点直线距离为r，那么场强E和r什么关系呢？
这里不用试验电荷的传统试验方式来讨论E和r的关系，那必然是平方反比的关系哈~
这里先猜测场强E与r的关系有这些
$$E\text{E}E\propto \frac{1}{r}$$
$$E\text{E}E\propto \frac{1}{r^2}$$
$$...$$
$$E\text{E}E\propto \frac{1}{r^n}$$
这里是按照常识来考虑E和r的n次幂成反比，而不是正比关系。
这里先讨论E和r成反比的关系，假定关系成立
$$E\text{E}E\propto \frac{1}{r}$$
综上，电荷p的电场B点处的场强E与电荷量p成正比，与距离r成反比，于是有
$$E\text{E}E\propto \frac{p}{r}$$
等式关系如下：
$$E\text{E}E=k\frac{p}{r}$$
其中k为比例系数。
为了方便后面描述这里将E改成E1,即
$$\overrightarrow{E1}=k\frac{p}{r}$$
这都是不考虑试验电荷q的情况，就是不带q一起玩了，场强E也是客观存在的，只是考察的角度问题哈~
一个是通过试验电荷q受力的角度出发，而这里是从电场源头和空间距离出发。

反之试验电荷q(负电荷)也会形成电场，且电荷p在A点处，也有自己的场强E2，与场强E1大小不等方向相同（异性电荷场强方向相同，表现为相互吸引，同性电荷场强方向相反，表现为相互排斥，这里只讨论异性电荷关系），有
$$\overrightarrow{E2}=-k\frac{q}{r}$$

场强E1和E2如下图所示

两个电荷相互作用的力

力的作用是物质和物质之间的相互作用，因此只有单个点电荷而无其他电荷就无法讨论力的关系。

那么，电荷p和q都具有电荷量，都会形成电场，相互作用，不能通过力的叠加原理来计算，因为电荷p通过电场吸引电荷q，同时电荷q通过自身的电场吸引电荷p，电荷量不同场强也不同作用力势必也不等效，但是按照牛顿第三定律，两个电荷之间相互作用力力又势必相等，故大胆猜想两个电荷p和q距离为r时产生的作用力由场强向量积成正比，即

$$\vec{F}\propto \overrightarrow{E1}\cdot \overrightarrow{E1}\propto \frac{p}{r}\frac{q}{r}\cos \alpha$$
因为E1和E2两者场强作用在直线上，故而cosα为1或者-1，即有
$$\vec{F}=k\frac{qp}{r^2}$$
其中k为引力系数。k也有单位，按照量纲来~

万有引力定律推导

同理万有引力引入场强的概念也可以推导出，我也不想推导了，质量的场强可以这么定义：
m1的场强：
$$\overrightarrow{E1}=k\frac{m1}{r}$$
m2的场强：
$$\overrightarrow{E2}=k\frac{m2}{r}$$
向量积运算：

$$\vec{F}\propto \overrightarrow{E1}\cdot \overrightarrow{E1}\propto \frac{m1}{r}\frac{m2}{r}\cos \alpha$$
等式关系如下：
$$F\text{F}F=G\frac{m1m2}{r^2}$$