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正交向量

在我的博文 程序员的自我修养之数学基础02 中介绍了向量内积的概念。我们知道，对于 n 维向量 ，其内积为：

仔细观察一下这个表达式，我们不难得出向量内积与矩阵乘法之间的联系：

回顾了向量内积之后，我们就比较容易理解正交向量的定义了：若 ，则称 与正交。

也就是说， 与正交 。

从这个定义出发，我们很容易得出：零向量与任意同维向量都正交。

在二维或三维尺度上，我们非常容易理解，向量的正交其实就表示两个向量垂直，即夹角为90°。在更高维度的空间中，向量的正交其实就是垂直概念的推广，用夹角的概念可能会失效，用“一个向量在另一个向量方向上投影为0”的说法可能更容易理解一点。

如果n维向量组中的向量两两正交，就称该向量组为正交向量组，也可以称为正交组。易证得，若n维向量组是正交向量组，且不包含零向量，则线性无关。

如果正交组中的向量都是单位向量，即各向量的模均为1，则称该向量组为标准正交向量组。

再扩展一下，如果矩阵的列向量构成正交组，则是对角矩阵，反之亦然。

标准正交基

基，也称为基底，是描述、刻画向量空间的基本工具，向量空间中任意一个元素，都可以唯一地表示成基向量的线性组合。换句话说，给定一组基，就相当于定义了一个坐标系，从而确定了一个向量空间。

在这里需要注意的是，对于同一个向量空间，标准正交基并不唯一。因为不唯一，所以可以引入过渡矩阵的概念：

正交矩阵

若实数域R上的n阶矩阵Q满足，则称Q为正交矩阵。其中，E 表示单位矩阵，还记得吗？主对角线的元素都为1，其余位置元素都为0~

补充一点，方阵Q 为正交矩阵的充要条件是Q 的行向量或列向量构成标准正交组。

正交矩阵有以下性质：

之前我们说，矩阵可以看做“映射”。对于正交矩阵，它从实内积空间V映射到V自身，这种变换被称作“正交变换”。正交变换不改变向量的内积，因此。也不影响向量的模、夹角和距离。我们可以理解为，同维空间内坐标轴的整体变换，因此施以正交变换后，图形的几何形状不变，可以通过施加正交变换更好的研究“形状”。

结合着上面的叙述，我们将正交矩阵和标准正交基联系起来，可以得到：

参考：

https://wenku.baidu.com/view/e6d6a3b00975f46527d3e1a5.html

https://wenku.baidu.com/view/6b3e2fdca58da0116c174912.html?sxts=1567562044157

https://blog.csdn.net/qq_20412595/article/details/81195373