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正交向量

在我的博文 程序员的自我修养之数学基础02 中介绍了向量内积的概念。我们知道，对于 n 维向量 $\vec{a},\vec{b}$ ，其内积为：

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_{1}b_1+a_2b_2+...+a_nb_n=\sum_{i=1}^{n}a_ib_i$

仔细观察一下这个表达式，我们不难得出向量内积与矩阵乘法之间的联系：

$\bg_white \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\boldsymbol{a}^{T}\boldsymbol{b}=[a_1, a_2,...,a_n]\begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}$

回顾了向量内积之后，我们就比较容易理解正交向量的定义了：若 $\bg_white \overrightarrow{a}\cdot \bg \overrightarrow{ b}=0$ ，则称 $\bg_white \overrightarrow{a}$ 与 $\bg_white \overrightarrow{b}$ 正交。

也就是说， $\bg_white \overrightarrow{a}$ 与 $\bg_white \overrightarrow{b}$ 正交 $\Leftrightarrow a_{1}b_1+a_2b_2+...+a_nb_n=0$ 。

从这个定义出发，我们很容易得出：零向量与任意同维向量都正交。

在二维或三维尺度上，我们非常容易理解，向量的正交其实就表示两个向量垂直，即夹角为90°。在更高维度的空间中，向量的正交其实就是垂直概念的推广，用夹角的概念可能会失效，用“一个向量在另一个向量方向上投影为0”的说法可能更容易理解一点。

如果n维向量组 $\boldsymbol{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s}}$ 中的向量两两正交，就称该向量组为正交向量组，也可以称为正交组。易证得，若n维向量组 $\boldsymbol{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s}}$ 是正交向量组，且不包含零向量，则 $\boldsymbol{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s}}$ 线性无关。

如果正交组中的向量都是单位向量，即各向量的模均为1，则称该向量组为标准正交向量组。

再扩展一下，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量构成正交组，则 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{A^T}$ 是对角矩阵，反之亦然。

标准正交基

基，也称为基底，是描述、刻画向量空间的基本工具，向量空间中任意一个元素，都可以唯一地表示成基向量的线性组合。换句话说，给定一组基，就相当于定义了一个坐标系，从而确定了一个向量空间。