指数(乘方、幂、科学计数法)、对数、等比数列、阶乘基础知识

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指数

指数、幂：乘方、次方。a的n次方，a的n次幂，a^n。数学计算为n自乘m次。其中n称作底数，m称作指数。

n^0= 1;     n^1=1*n;     n^2=1*n*n

科学计数法：a*(10^n)，aEn。将一个比较大的数，计作一个自然数a乘以10的n次幂，其中1<=|a|<10。科学计数法，使得阅读更直观，避免出错。

因为十的乘方很容易计算，只需在后面加零即可，因此科学计数法借助此简化记录数的方式。在计算机中，二的乘方很有用。

对数

如果a^X=N，那么x就是以a为底，N的对数。计作log(a)N，其中a为底数，N为真数。

以10为底的对数，叫做常用对数(common logathimath)，log(10)N 即 lgN。

以无理数e为底的对数，叫做自然对数(natrual logarithm)，log(e)N即lnN。

e：我们都知道复利计息是怎么回事，就是利息也可以并进本金再生利息。但是本利和的多寡，要看计息周期而定，以年周期来算的话，可以一年只计息一次，也可以每半年计息一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次；当然计息周期愈短，本利和就会愈高。有人因此而好奇，如果计息周期无限制地缩短，比如说每分钟计息一次，甚至每秒，或者每一瞬间（理论上来说），会发生什么状况？本利和会无限制地加大吗？答案是不会，本利和的值会稳定下来，趋近於一极限值，而e这个数就现身在该极限值当中,所以e可以定义成一个极限值，但是在那时候，根本还没有极限的观念，因此e的值应该是观察出来的，而不是用严谨的证明得到的。

当n→∞时，(1+1/n)^n的极限就是e。

阶乘

从1乘到n，称为n的阶乘。计作 n! = 1*2*3*…*(n-1)*n。

n! = (n-1)! * n;

等比数列

an = a * q^(n-1)

sn = a * (q^n – 1) / (q-1)

例如：数列，2^0  2^1  2^2  2^3 ….  2^(n-1)，

          即为 q = 2, a = 1的等比数列，其sn=2^n -1；

十六进制

在数学中是逢16进1的进位制，用0-9和A-F表示，这些数字称作16进制数字。

十进制数57，二进制数为，十六进制数为39。

16进制普遍应用在计算机领域，因为将4个bit化成16进制的数比较容易。

Unicode字符集及其编码实现

Unicode用数字 0x0~0x10FFFF 表示所有字符，所以最多可以容纳 1,114,112 个字符。

有人会说，Unicode不是两个字节表示字符的码？为什么数值可以到0x10FFFF，这不21位，两个半字节还多了吗？其实，这是混淆了Unicode的数值定义和实现，这根本就是两个概念，Unicode到底用几个字节表示，取决于其实现方式是UTF-8，UTF-16，还是UTF-32.

  比如，“汉字”对应的Unicode值是0x6c49和0x5b57，而编码实现是：

char data_utf8[]={0xE6,0xB1,0x89,0xE5,0xAD,0x97};//UTF-8编码
char16_t data_utf16[]={0x6C49,0x5B57};        //UTF-16编码
char32_t data_utf32[]={0x00006C49,0x00005B57};//UTF-32编码

UTF-8是使用8-bit为单位，对Unicode进行编码的。特点是，对不同范围的字符使用不同长度的编码。

  UTF-8编码的最大长度是6个字节。

  对于0x00-0x7F之间的字符，UTF-8编码与ASCII编码完全相同,用1个字节表示，首位为0。

  对于0x80-0x7FF之间的字符，用2个字节表示，第一个字节前三位“110”为标志位，第二个字节前两位“10”为标志位。剩下的11位用来表示Unicode值（7FF最多11位）。

  同样，UTF-8的3个字节，可以表示0x800-0xFFFF的Unicode（最多16位）。

  UTF-8的4个字节，可以表示0x10000-0x001FFFFF的Unicode（最多21位）。

  4个字节以内，已经包含了Unicode所有字符。

  5、6个字节表示的已经是非Unicode编码范围，属于UCS-4 编码。早期UTF-8规范也可以达到6字节序列，不过2003年11月UTF-8 被 RFC 3629 重新规范，只能使用原来Unicode定义的区域， U+0000到U+10FFFF。根据规范，这些字节值将无法出现在合法 UTF-8序列中。

  例1：“汉”字的Unicode编码是0x6C49。0x6C49在0x0800-0xFFFF之间，使用用3字节模板了：1110xxxx 10xxxxxx 10xxxxxx。将0x6C49写成二进制是：0110 1100 0100 1001， 用这个比特流依次代替模板中的x，得到： ，即E6 B1 89。
  例2：Unicode编码0x20C30在0x010000-0x10FFFF之间，使用用4字节模板了：11110xxx 10xxxxxx 10xxxxxx 10xxxxxx。将0x20C30写成21位二进制数字（不足21位就在前面补0）：0 0010 0000 1100 0011 0000，用这个比特流依次代替模板中的x，得到： ，即F0 A0 B0 B0。

  UTF-8有两个好处：

1. 1字节字符、2字节字符、3字节字符……的首字节标志位不同，这样可以很清楚的区分一个字节属于1字节字符还是2字节字符，如果一个字节流传输中出现错误，也不会错位，只影响部分字符，根据标志位，很容易找到下个正确字符。

2. 兼容ASCII码，英美字符用UTF-8可以一个字节表示，所以，www组织选用UTF-8作为推荐编码格式。2007年，在互联网上，UTF-8格式已经超过了ASCII码。